Kontrak Perkuliahan & SAP 16 Pekan
Standar baku penyelenggaraan perkuliahan Matematika Keuangan 1 (SCAC602020) Departemen Matematika FMIPA UI. Kurikulum dirancang selaras dengan silabus Ujian Profesi Ajun Aktuaris PAI (Modul A10 / CF10) dan SOA Exam FM, menggunakan pendekatan Inquiry-based Learning serta kepatuhan penuh terhadap Peraturan Rektor UI No. 1 Tahun 2024.
Kalkulator Simulasi Nilai Akhir & Prediksi Huruf Mutu
Berdasarkan rumus pembobotan resmi: $$NA = 0{,}30(\text{UTS}) + 0{,}30(\text{UAS}) + 0{,}20(\text{Tugas}) + 0{,}20(\text{Kuis})$$
Materi Pekan 1–7 (12–17 Okt 2026)
Materi Pekan 9–15 (7–19 Des 2026)
Tugas 1, 2, 3, dan 4 Kelompok
Kuis 1, 2, 3, dan 4 Reguler
* Syarat kelulusan program Sarjana UI minimal nilai C (Nilai Angka ≥ 55).
Satuan Acara Perkuliahan (SAP) 16 Pekan & Critical Milestones
Jadwal resmi perkuliahan, kuis, penugasan kelompok, UTS, dan UAS PTA 2026/2027
Fungsi Akumulasi, Bunga Sederhana & Majemuk
Pengenalan aksioma fungsi akumulasi $a(t)$, fungsi jumlah $A(t)$, tingkat bunga efektif tahun ke-$n$ ($i_n$), serta perilaku asimtotik bunga sederhana vs majemuk.
Nilai Sekarang & Suku Bunga/Diskonto Nominal
Konsep *present value* ($PV$), faktor diskonto $v = (1+i)^{-1}$, laju diskonto efektif $d$, tingkat nominal $i^{(m)}$ dan $d^{(m)}$, serta pembuktian identitas aktuaria $\frac{1}{d^{(m)}} - \frac{1}{i^{(m)}} = \frac{1}{m}$.
Force of Interest, Bunga Bervariasi & Inflasi
Intensitas bunga kontinu $\delta(t) = \frac{a'(t)}{a(t)}$, akumulasi integral $a(t) = \exp\left(\int_0^t \delta(s)\,ds\right)$, serta teori inflasi Fisher $(1+i) = (1+r)(1+j)$.
Kuis 1 Resmi (Materi Pekan 1–3) • Persamaan Nilai
Pelaksanaan Kuis 1 di kelas (@D.401). Pembahasan lanjut: Persamaan nilai (*Equation of Value*), penentuan waktu dan tingkat bunga yang tidak diketahui, deadline Tugas 1 pukul 23:59 WSE, Tugas 2 diberikan.
IRR, Dollar-Weighted & Time-Weighted Rate
Analisis yield rate investasi, Internal Rate of Return (IRR), metode Dollar-weighted (Money-weighted) vs Time-weighted rate of return pada evaluasi kinerja manajer investasi.
Kuis 2 (Materi Pekan 4–5) • Anuitas Dasar
Pengantar anuitas dasar: Nilai sekarang dan akumulasi Anuitas Biasa (*Annuity Immediate* $a_{\overline{n}|i}$), Anuitas Dimuka (*Annuity Due* $\ddot{a}_{\overline{n}|i}$), dan anuitas pada sembarang waktu.
Perpetuitas & Anuitas dengan Parameter Tak Diketahui
Evaluasi perpetuitas ($a_{\overline{\infty}|i} = \frac{1}{i}$), interpolasi linear dan metode numerik untuk mencari $n$ atau $i$, serta penyelesaian anuitas berbunga bervariasi.
UJIAN TENGAH SEMESTER (UTS)
Cakupan Materi Komprehensif: Pekan 1 s.d. Pekan 7. Batas akhir pengumpulan Tugas Kelompok 2 pada hari ujian pukul 23:59 WSE.
Frekuensi Pembayaran ≠ Periode Bunga (Lebih Jarang)
Anuitas di mana interval pembayaran lebih panjang dari periode konversi bunga (misal pembayaran tahunan dengan bunga terkonversi bulanan). Penentuan suku bunga efektif ekuivalen.
Pembayaran Lebih Sering ($m$-thly) & Anuitas Kontinu
Anuitas yang dibayarkan $m$ kali per periode ($a_{\overline{n}|}^{(m)}$) dan anuitas kontinu ($\bar{a}_{\overline{n}|} = \frac{1-v^n}{\delta}$).
Anuitas Bervariasi Deret Aritmetika & Geometrik
Pembayaran bertambah/berkurang aritmetika ($(Ia)_{\overline{n}|}$, $(Da)_{\overline{n}|}$) dan anuitas dengan pembayaran bergradien rasio konstan (geometrik).
Kuis 3 (Materi Pekan 9–11) • Anuitas Kontinu Bervariasi
Pelaksanaan Kuis 3. Formulasi anuitas kontinu dengan laju pembayaran bervariasi $\int_0^n f(t)v^t\,dt$. Deadline pengumpulan Tugas 3 pukul 23:59.
Perhitungan Saldo Pinjaman (Retrospektif vs Prospektif)
Metode evaluasi sisa pokok hutang: Metode Prospektif ($B_t = R \cdot a_{\overline{n-t}|}$) vs Metode Retrospektif ($B_t = L(1+i)^t - R \cdot s_{\overline{t}|}$).
Tabel Skedul Amortisasi & Sinking Fund
Pemisahan angsuran menjadi porsi pokok ($P_t$) dan bunga ($I_t$). Konstruksi skema sinking fund dengan suku bunga pinjaman $i$ dan suku bunga akumulasi dana simpanan $j$.
Kuis 4 (Materi Pekan 12–14) • Pinjaman Pembayaran Bervariasi
Pelaksanaan Kuis 4. Pinjaman dengan angsuran tak seragam (bunga bertingkat, penalti pelunasan dipercepat, restrukturisasi tenor).
UJIAN AKHIR SEMESTER (UAS)
Cakupan Materi Komprehensif: Pekan 9 s.d. Pekan 15. Batas akhir pengumpulan Tugas 4 pada hari ujian pukul 23:59 WSE. Batas akhir pengunggahan nilai di SLCM UI: 8 Januari 2027 Pukul 23:59.
Capaian Pembelajaran (CPMK) & Penyelarasan Standar PAI / SOA
Pemetaan standar kompetensi lulusan program studi Ilmu Aktuaria FMIPA UI
Menerapkan konsep dasar bunga, fungsi akumulasi $a(t)$, fungsi jumlah $A(t)$, bunga sederhana, bunga majemuk, nilai sekarang, diskonto efektif/nominal, force of interest $\delta(t)$, dan inflasi pada kasus praktis keuangan.
Menghitung nilai sekarang, nilai akumulasi, tingkat bunga, periode waktu ($n$), dan frekuensi pembayaran dari berbagai jenis anuitas (anuitas biasa, dimuka, perpetuitas, dan anuitas umum $m$-thly).
Menganalisis berbagai skema pembayaran anuitas bergradien (deret aritmetika & deret geometrik) dalam pemilihan model anuitas yang optimal untuk situasi keuangan tertentu.
Menerapkan konsep amortisasi dan sinking fund dalam perhitungan saldo pinjaman (prospektif vs retrospektif), pemecahan angsuran pokok dan bunga, serta dana pelunasan pinjaman.
Merumuskan konsep amortisasi dan sinking fund yang sesuai dalam memecahkan permasalahan pembiayaan dan pinjaman multi-skema pada dunia industri nyata.
Mata kuliah ini diakui untuk *waiver* / kesetaraan Ujian Profesi Ajun Aktuaris PAI Modul A10 (CF10) dan mencakup 100\% fondasi teoretis SOA Exam FM (Financial Mathematics).
Tata Tertib Perkuliahan, Kode Etik & Regulasi Sanksi
Kepatuhan hukum terhadap Peraturan Rektor UI No. 1 Tahun 2024 & Surat Edaran FMIPA UI
📌 Aturan Mengulang Mata Kuliah & Evaluasi EDOM
PR UI No. 1 Tahun 2024 Bab XII Pasal 40 ayat 5: Dalam hal mahasiswa mengambil ulang mata kuliah, maka nilai kelulusan mata kuliah tersebut didasarkan pada nilai terakhir yang diperoleh (bukan nilai tertinggi).
Kewajiban EDOM: Mahasiswa wajib mengisi Evaluasi Dosen oleh Mahasiswa (EDOM) pada akhir semester. Sebelum EDOM diisi lengkap, nilai akhir mahasiswa di SLCM Akademik tidak dapat diakses/dilihat.
🚨 Sanksi Mutlak Kecurangan Ujian (Nilai Huruf E)
Sesuai SE Dekanat FMIPA UI No. SE-001/UN2.F3.1/PDP.01.02/2026 dan PR UI No. 1/2024 Pasal 37 ayat 5: Pelanggaran berat seperti menyontek, membuka catatan/HP tidak sah, bekerja sama, atau joki ujian berakibat langsung pada Pemberian Nilai Akhir E (Gagal Total) pada mata kuliah ini.
🏛️ Tata Tertib Kelas & Komunikasi Dosen
- Hadir di ruang D.401 minimal 10 menit sebelum perkuliahan dimulai.
- Wajib berpakaian rapi, sopan, bersepatu (dilarang kaus oblong tanpa lengan, rok mini, dan celana pendek).
- Dilarang makan di dalam ruang kelas ber-AC dan dilarang mengatur suhu AC dengan aplikasi HP.
- Hubungi dosen (Fida Fathiyah Addini, M.Si.) hanya pada hari dan jam kerja resmi dengan bahasa santun.
- Toleransi menunggu kehadiran dosen: maksimal 15 menit.
📝 Tata Tertib Pelaksanaan Ujian (UTS & UAS)
- Wajib membawa Kartu Tanda Mahasiswa (KTM) aktif dan alat tulis mandiri.
- Peserta hadir minimal 10 menit sebelum ujian. Keterlambatan tidak mendapat perpanjangan waktu.
- Wajib mematikan HP dan seluruh alat komunikasi selama ujian berlangsung.
- Ujian susulan hanya dapat diberikan jika disertai alasan sakit resmi (surat keterangan dokter).
Bahan Bacaan & Literatur Referensi Baku
Daftar buku teks resmi silabus Matematika Keuangan 1 FMIPA UI
Stephen G. Kellison (2009)
The Theory of Interest (3rd ed.). McGraw-Hill/Irwin.
Rujukan primer definisi notasi aktuaria, fungsi akumulasi, anuitas, dan tabel amortisasi resmi perkuliahan UI.
Samuel A. Broverman (2010)
Mathematics of Investment and Credit (5th ed.). ACTEX Publications.
Rujukan standar persiapan SOA Exam FM untuk pemecahan masalah anuitas bervariasi dan yield rate.
Leslie J. F. Vaaler & James W. Daniel (2007)
Mathematical Interest Theory (2nd ed.). Pearson Education.
Fokus pada penggunaan kalkulator finansial Texas Instruments BA II Plus dan aplikasi komersial.
Wai-Sum Chan & Yiu-Kuen Tse (2018)
Financial Mathematics for Actuaries (2nd ed.). World Scientific.
Rujukan modern analisis portofolio instrumen pasar uang, obligasi, dan derivatif aktuaria.
Pengukuran Bunga (Bagian 1): Fungsi Akumulasi & Suku Bunga Efektif
Fondasi komputasi aktuaria paling mendasar di FMIPA UI. Membedah secara linear 1:1 materi dari slide resmi perkuliahan: alasan ekonomi nilai waktu uang, aksioma fungsi akumulasi $a(t)$, fungsi jumlah $A(t)$, suku bunga efektif periode ke-$n$ ($i_n$), serta pembuktian asimtotik mengapa bunga sederhana menghasilkan $i_n$ yang menurun sementara bunga majemuk menghasilkan $i_n$ konstan.
Alasan Ekonomi Adanya Bunga & Terminologi Baku
Slide 3 – 5 / 38 • Landasan Finansial Teoretis
💡 4 Alasan Ekonomi Nilai Waktu Uang (Time Value of Money)
Dalam transaksi pinjam-meminjam profesional, uang memiliki nilai waktu karena 4 faktor fundamental:
- Biaya Kesempatan (Opportunity Cost): Pemberi pinjaman kehilangan peluang menginvestasikan dana pada instrumen produktif alternatif.
- Risiko Gagal Bayar (Credit/Default Risk): Bunga berfungsi sebagai premi atas ketidakpastian pengembalian di masa depan.
- Erosi Daya Beli (Inflasi): Uang di masa depan memiliki daya beli lebih rendah dibanding saat ini.
- Preferensi Waktu Konsumsi: Individu lebih menyukai konsumsi saat ini daripada konsumsi tertunda (*positive time preference*).
📐 Terminologi & Notasi Baku FMIPA UI
Jumlah dana yang diinvestasikan atau dipinjamkan pada titik awal ($t = 0$).
Total saldo dana pada waktu $t \ge 0$ setelah memperhitungkan bunga yang bertambah.
Selisih antara nilai akumulasi dan pokok pinjaman: $$I = A(t) - k$$
Aksioma Fungsi Akumulasi $a(t)$ & Fungsi Jumlah $A(t)$
Slide 6 – 11 / 38 • Aksioma Matematis Baku
Nilai akumulasi pada waktu $t$ dari investasi awal sebesar 1 unit pada $t = 0$.
Fungsi jumlah (skalar) untuk pokok investasi sembarang $k$.
Bunga yang tumbuh khusus selama interval waktu $t \in [n-1, n]$.
🛡️ 3 AKSIOMA MATEMATIS FUNGSI AKUMULASI $a(t)$ (Wajib Dihafal untuk Ujian)
Pada waktu nol, nilai uang tepat sama dengan pokok aslinya (1 unit bernilai 1).
Nilai uang tidak pernah menyusut seiring bertambahnya waktu dalam sistem berbunga non-negatif.
Pertumbuhan dana tidak mengalami diskontinuitas atau lonjakan tak wajar tanpa adanya setoran baru.
Contoh Soal Asli Slide Dosen UI: Bagian Akumulasi
Slide 12 – 17 / 38 • Pembahasan Langkah-demi-Langkah Sesuai Kunci Dosen
Soal: Seorang investor menginvestasikan uangnya sebesar USD 10.000 ke dalam suatu sistem pendanaan pada waktu $t = 0$. Pertumbuhan dana selama 4 tahun adalah:
• $A(0) = 10.000$, $A(1) = 10.600$, $A(2) = 11.130$, $A(3) = 11.575{,}2$, $A(4) = 12.153{,}96$.
Jika ada uang sebesar USD 5.000 diinvestasikan pada waktu $t = 2$, di bawah skema bunga yang sama, hitunglah nilai akumulasi dari uang sebesar USD 5.000 tersebut pada waktu $t = 4$!
Misalkan $X$ adalah nilai akumulasi pada waktu $t = 4$ dari pokok USD 5.000 di $t = 2$. Rasio pertumbuhan antara $t = 2$ dan $t = 4$ harus identik: $$\frac{X}{5.000} = \frac{A(4)}{A(2)} \implies \frac{X}{5.000} = \frac{12.153{,}96}{11.130} = 1{,}092$$ $$X = 5.000 \times 1{,}092 = \mathbf{\text{USD } 5.460{,}00}$$
Soal: Diketahui fungsi jumlah $A(t) = t^2 + 2t + 3$.
a. Tentukan fungsi akumulasi $a(t)$ yang bersesuaian.
b. Buktikan bahwa $a(t)$ memenuhi sifat-sifat fungsi akumulasi.
c. Tentukan besar bunga yang diperoleh pada periode ke-$n$ ($I_n$) dari tanggal investasi.
a. Evaluasi $k = A(0) = 0^2 + 2(0) + 3 = 3$. Maka: $$a(t) = \frac{A(t)}{A(0)} = \mathbf{\frac{t^2 + 2t + 3}{3}}$$
b. Verifikasi Sifat Aksiomatik:
• $a(0) = \frac{0 + 0 + 3}{3} = 1$ (Terpenuhi).
• Turunan pertama: $a'(t) = \frac{1}{3}(2t + 2) = \frac{2}{3}(t + 1) > 0$ untuk seluruh $t \ge 0$. Fungsi terbukti monoton naik.
• $a(t)$ merupakan fungsi polinomial kuadratik yang kontinu pada domain $[0, \infty)$. (Terpenuhi).
c. Bunga Periode ke-$n$ ($I_n$):
$$I_n = A(n) - A(n-1) = (n^2 + 2n + 3) - \left[(n-1)^2 + 2(n-1) + 3\right]$$
$$I_n = (n^2 + 2n + 3) - (n^2 - 2n + 1 + 2n - 2 + 3) = (n^2 + 2n + 3) - (n^2 + 2) = \mathbf{2n + 1}$$
Soal: Diketahui $a(t) = bt^2 + c$. Jika USD 100 diinvestasikan pada $t = 0$, uang tersebut akan berakumulasi menjadi USD 172 pada $t = 3$. Tentukan nilai akumulasi pada $t = 10$ jika USD 100 diinvestasikan pada $t = 5$!
Langkah 1: Cari konstanta $b$ dan $c$ melalui sifat awal: $$a(0) = 1 \implies b(0)^2 + c = 1 \implies \mathbf{c = 1}$$ $$A(3) = 100 \cdot a(3) \implies 172 = 100(9b + 1) \implies 9b + 1 = 1{,}72 \implies 9b = 0{,}72 \implies \mathbf{b = 0{,}08}$$ Maka formula akumulasi adalah: $$a(t) = 0{,}08t^2 + 1$$
Langkah 2: Jika USD 100 diinvestasikan pada $t = 5$, maka modal tersebut tumbuh dari $t = 5$ ke $t = 10$: $$A(10) = 100 \times \frac{a(10)}{a(5)} = 100 \times \frac{0{,}08(100) + 1}{0{,}08(25) + 1} = 100 \times \frac{8 + 1}{2 + 1} = 100 \times \frac{9}{3} = \mathbf{\text{USD } 300{,}00}$$
Tingkat Bunga Efektif Periode ke-$n$ ($i_n$)
Slide 18 – 23 / 38 • Definisi Operasional & Contoh 4, 5, 6
Rasio antara bunga yang dihasilkan selama periode ke-$n$ terhadap saldo dana pada awal periode ke-$n$ ($t = n-1$).
Data: $A(0)=10.000, A(1)=10.600, A(2)=11.130, A(3)=11.575{,}2, A(4)=12.153{,}96$.
Diasumsikan $A(t) = 100 + 5t$. Hitung $i_5$ dan $i_{10}$!
* Bukti nyata $i_n$ menurun pada fungsi linear.
Diketahui $A(4) = 1.000$ dan $i_n = 0{,}01n$. Tentukan $A(7)$!
Karena $A(n) = (1+i_n)A(n-1)$, maka perkalian berantai:
Bunga Sederhana vs Bunga Majemuk & Contoh 7 s.d. 12
Slide 24 – 38 / 38 • Pembuktian Asimtotik & Seluruh Contoh Soal Asli
| Karakteristik Matematis | Bunga Sederhana (Simple Interest) | Bunga Majemuk (Compound Interest) |
|---|---|---|
| Fungsi Akumulasi $a(t)$ | $$a(t) = 1 + st, \quad t \ge 0$$ | $$a(t) = (1+i)^t, \quad t \ge 0$$ |
| Tingkat Bunga Efektif $i_n$ | $$i_n = \frac{s}{1 + (n-1)s}$$ Monoton menurun seiring waktu ($n \to \infty \implies i_n \to 0$) |
$$i_n = \frac{(1+i)^n - (1+i)^{n-1}}{(1+i)^{n-1}} = i$$ Konstan di setiap periode |
| Basis Perhitungan Bunga | Hanya dihitung dari pokok awal ($A(0)$). Bunga tidak berbunga. | Bunga ditambahkan ke pokok setiap akhir periode (*interest earns interest*). |
| Peringkat Nilai ($t < 1, t = 1, t > 1$) |
Untuk $s = i$:
• Jika $0 < t < 1 \implies \mathbf{1 + st > (1+i)^t}$ (Bunga sederhana lebih menguntungkan). • Jika $t = 1 \implies \mathbf{1 + s = 1 + i}$ (Sama persis). • Jika $t > 1 \implies \mathbf{(1+i)^t > 1 + st}$ (Bunga majemuk melesat jauh lebih tinggi secara eksponensial). |
|
Pada bunga sederhana, USD 1.000 berakumulasi jadi USD 1.110 setelah waktu $t$. Tentukan nilai akumulasi dari USD 500 jika suku bunga $\frac{3}{4}$ dari semula dan waktu $2t$!
Bunga sederhana $s = 4\%$. Pada periode ke berapakah tingkat bunga sederhana tersebut akan ekuivalen dengan tingkat bunga efektif sebesar $2{,}5\%$?
USD 1.000 diinvestasikan pada $t = 0$ dengan bunga sederhana. Suku bunga selama tahun $t$ adalah $0{,}01t$ untuk $t = 1, 2, 3, 4, 5$. Hitung $A(5)$!
Investor usia 35 tahun mendepositokan USD 10.000 bunga majemuk $7\%$ per tahun hingga pensiun usia 65 tahun ($t = 30$). Berapa besar bunga yang diperoleh?
Nilai akumulasi USD 5.000 di akhir 5 tahun 4 bulan ($t = 5\frac{1}{3}$) pada $i = 9\%$: a. Majemuk murni; b. Bunga sederhana pada pecahan akhir.
USD 600 diinvestasikan 2 tahun menghasilkan bunga USD 264. Tentukan nilai akumulasi tahun ke-3 dari USD 2.000 pada suku bunga majemuk yang sama!
SOP SIAP UJIAN KUIS 1: Checklist Wajib Pekan 1
Dalam naskah Kuis 1 resmi Departemen Matematika FMIPA UI, tipe soal dari materi Pekan 1 yang paling sering keluar adalah:
Diberikan fungsi pecahan $a(t) = \frac{1+\alpha t}{1+\beta t}$, mahasiswa diminta menentukan syarat $\alpha \ge \beta \ge 0$ agar $a(0)=1$ dan $a'(t)\ge 0$.
Mencari tahun ke-$n$ di mana tingkat bunga efektif bunga sederhana turun menjadi persis setengah dari tahun pertama: $i_n = \frac{1}{2}s \implies n = \frac{1}{s} + 1$.
Suku bunga sederhana berbeda per tahun $s_t = 0{,}01t$. Akumulasi adalah jumlah dari bunga pokok awal: $A(n) = A(0)\left(1 + \sum s_t\right)$.
Pengukuran Bunga (Bagian 2): Nilai Sekarang, Tingkat Diskonto Efektif & Tingkat Nominal
Materi inti aktuarial yang mentransformasikan cara memandang nilai waktu uang dari masa depan ke masa kini. Membedah secara linear 1:1 dari 59 slide perkuliahan: faktor diskonto $v$, fungsi diskonto $a^{-1}(t)$, mekanisme diskon awal (T-Bill), tingkat diskonto efektif $d_n$, diskonto sederhana vs majemuk, 4 identitas fundamental $i$, $d$, $v$, serta tingkat bunga & diskonto nominal ($i^{(m)}$, $d^{(m)}$) dengan identitas emas aktuarial FMIPA UI: $\frac{1}{d^{(m)}} - \frac{1}{i^{(m)}} = \frac{1}{m}$.
Nilai Sekarang (Present Value) & Faktor Diskonto $v$
Slide 3 – 13 / 59 • Fondasi Diskonto Waktu
💡 Faktor Akumulasi vs Faktor Diskonto
Jika faktor akumulasi $(1+i)$ mengakumulasikan nilai investasi dari awal periode ke akhir periode, maka sebaliknya, kita membutuhkan faktor yang mendiskontokan nilai di akhir periode ke awal periode.
Nilai $v$ menyatakan present value dari 1 unit uang yang akan diterima 1 periode mendatang pada suku bunga efektif $i$.
Untuk horizon $t$ tahun pada suku bunga majemuk, nilai sekarang dari 1 adalah $v^t = (1+i)^{-t}$.
📐 Fungsi Diskonto $a^{-1}(t)$
Fungsi diskonto dinotasikan dengan $a^{-1}(t)$ dan menyatakan nilai pada waktu $t = 0$ dari uang sebesar 1 yang akan diterima pada waktu $t$:
Catatan Slide 5: Metode bunga majemuk akan selalu digunakan kecuali secara eksplisit dinyatakan lain.
Tingkat Diskonto Efektif & Pembayaran Bunga di Awal Periode
Slide 14 – 18 / 59 • Konsep T-Bill & Effective Principal
🏛️ Mekanisme Treasury Bill (T-Bill)
Surat utang jangka pendek pemerintah AS (T-Bill) diterbitkan tanpa kupon dengan sistem diskonto. Investor membayar harga beli di bawah nominal (face value), dan menerima nominal penuh saat jatuh tempo:
💵 Effective Principal vs Nominal Principal
Pada pinjaman diskonto 1 tahun dengan tingkat $d$, bunga dipotong di muka dari nominal. Peminjam menerima pokok efektif yang lebih kecil:
⚖️ Tingkat Diskonto Efektif Periode ke-$n$ ($d_n$)
Rasio antara bunga yang diperoleh selama periode ke-$n$ terhadap saldo di AKHIR periode tersebut ($A(n)$):
Perhatikan perbedaannya: $i_n$ membagi dengan $A(n-1)$ (awal), sedangkan $d_n$ membagi dengan $A(n)$ (akhir).
Uang yang diterima di awal periode adalah:
Bunga yang dibayar di akhir periode: $USD 100 - USD 90{,}91 = \text{USD } 9{,}09$.
Uang yang diterima di awal periode adalah:
Diskon yang dipotong langsung di muka: $USD 100 \times 10\% = \text{USD } 10{,}00$.
Diskonto Sederhana, Diskonto Majemuk & Hubungan $i$ & $d$
Slide 19 – 24 / 59 • Sifat Asimtotik & 4 Identitas Fundamental
📉 Diskonto Sederhana vs Diskonto Majemuk
Sifat kontras: Pada bunga sederhana, suku bunga efektif $i_n$ menurun. Sebaliknya, pada diskonto sederhana, suku diskonto efektif $d_n$ meningkat:
Pada diskonto majemuk, tingkat diskonto efektif $d_n$ bernilai konstan ($d_n = d$) untuk setiap periode $n$.
⭐ 4 Hubungan Fundamental $i$, $d$, dan $v$ (Slide 20 – 21)
Tingkat bunga $i$ dan tingkat diskonto $d$ dikatakan ekuivalen jika untuk pokok dan horizon yang sama menghasilkan nilai akumulasi yang persis sama. Berlaku 4 identitas:
Konversi langsung: $i = \frac{d}{1-d}$ dan $d = \frac{i}{1+i}$. Karena $i > 0$, maka selalu berlaku $i > d$.
Tingkat Bunga & Diskonto Nominal ($i^{(m)}$ dan $d^{(m)}$)
Slide 33 – 48 / 59 • Frekuensi Pemajemukan & Periode Konversi
📈 Tingkat Bunga Nominal $i^{(m)}$ (Slide 33 – 38)
Bunga diperhitungkan $m$ kali dalam setahun. Periode konversi berdurasi $1/m$ tahun, dan suku bunga efektif per sub-periode adalah $\frac{i^{(m)}}{m}$.
📉 Tingkat Diskonto Nominal $d^{(m)}$ (Slide 39 – 43)
Diskonto diperhitungkan $m$ kali dalam setahun. Tingkat diskonto efektif per sub-periode adalah $\frac{d^{(m)}}{m}$.
Jika tingkat bunga nominal dikonversi $m$ kali dan tingkat diskonto nominal dikonversi $p$ kali, keduanya ekuivalen jika:
Khusus jika frekuensi konversinya sama ($p = m$), maka pada setiap sub-periode berlaku hubungan analog dengan tingkat efektif:
Identitas $\frac{1}{d^{(m)}} - \frac{1}{i^{(m)}} = \frac{1}{m}$ merupakan rumus rahasia tercepat dalam ujian PAI A10, SOA FM, dan Kuis 1 FMIPA UI untuk melompati perhitungan $i$ tahunan!
Bedah 11 Contoh Soal Asli Slide Dosen UI (Contoh 1 s.d. 11)
Materi Lengkap Ujian Kuis 1 • Solusi Formal & Langkah Rinci
Berapakah besarnya uang yang harus diinvestasikan saat ini pada tingkat bunga $9\%$ per tahun supaya terakumulasi menjadi $USD 1.000$ pada akhir tahun ketiga, apabila:
(a) menggunakan bunga sederhana;
(b) menggunakan bunga majemuk.
Dua pasang kakek nenek dari seorang bayi yang baru lahir ingin menginvestasikan sejumlah uang agar dapat membayar biaya kuliah sebesar $USD 10.000$ per tahun selama 4 tahun. Kuliah cucu tersebut dimulai ketika ia berusia 18 tahun.
Kakek nenek A setuju untuk mendanai pembayaran kuliah pada dua tahun pertama (usia 18 dan 19), sedangkan kakek nenek B setuju untuk mendanai pembayaran pada dua tahun terakhir (usia 20 dan 21).
Jika tingkat bunga efektif yang berlaku adalah $6\%$ per tahun, hitunglah perbedaan kontribusi yang harus diberikan oleh kakek nenek A dan kakek nenek B pada saat cucu mereka baru lahir ($t = 0$).
Diketahui bahwa investasi sebesar $USD 500$ akan meningkat menjadi $USD 4.000$ pada akhir 30 tahun.
Tentukanlah total nilai sekarang dari tiga pembayaran, masing-masing sebesar $USD 10.000$, yang akan dilakukan pada akhir tahun ke-20, ke-40, dan ke-60.
Berapakah besarnya uang yang harus diinvestasikan saat ini pada tingkat diskonto $9\%$ per tahun supaya terakumulasi menjadi $USD 1.000$ pada akhir tahun ketiga, jika:
(a) menggunakan diskonto sederhana;
(b) menggunakan diskonto majemuk.
Tentukanlah tingkat diskonto efektif $d_5$ apabila:
(a) tingkat bunga sederhana adalah $10\%$;
(b) tingkat diskonto sederhana adalah $10\%$.
Tentukanlah tingkat diskonto efektif apabila pembayaran sebesar $USD 200$ saat ini ($t = 0$) dan sebesar $USD 300$ satu tahun dari sekarang ($t = 1$) akan berakumulasi menjadi $USD 600$ pada dua tahun dari sekarang ($t = 2$).
Besar bunga yang diperoleh atas $X$ selama setahun adalah $USD 336$. Untuk transaksi yang sama, besar diskon yang ekuivalen adalah $USD 300$. Tentukanlah nilai $X$.
A meminjam uang sebesar $USD 1.000$ dengan tingkat bunga efektif tahunan sebesar $9\%$.
B meminjam uang sebesar $USD 1.000$ dengan tingkat bunga nominal sebesar $8{,}75\%$ yang compounded quarterly.
C meminjam uang sebesar $USD 1.000$ dengan tingkat diskonto efektif sebesar $8{,}5\%$.
Pertanyaan: Manakah pinjaman yang paling menguntungkan bagi peminjam?
Agar dapat dibandingkan secara adil, seluruh penawaran dikonversi ke tingkat bunga efektif tahunan ($i$):
Carilah nilai akumulasi dari investasi sebesar $USD 500$ selama 5 tahun dengan tingkat bunga nominal $8\%$ per tahun convertible quarterly.
Carilah nilai sekarang dari $USD 1.000$ yang dibayarkan pada akhir tahun ke-6 dengan tingkat diskonto nominal $6\%$ per tahun convertible semiannually.
Carilah tingkat bunga nominal convertible quarterly ($i^{(4)}$) yang ekuivalen dengan tingkat diskonto nominal $6\%$ per tahun convertible monthly ($d^{(12)} = 6\%$).
Pada diskonto sederhana, nilai sekarang $PV = FV(1 - dt)$. Jika $t \ge 1/d$, maka $1 - dt \le 0$ (nilai sekarang nol atau negatif). Ini adalah kelemahan model matematis yang sering dijadikan pertanyaan esai konseptual.
Ingat Contoh 8: Peminjam (borrower) memilih tingkat bunga terendah untuk meminimalkan beban, sedangkan investor/pemberi pinjaman (lender) memilih tingkat bunga tertinggi untuk memaksimalkan imbal hasil.
Untuk tingkat efektif tahunan yang sama ekuivalen: $$d < d^{(2)} < d^{(4)} < d^{(12)} < \delta < i^{(12)} < i^{(4)} < i^{(2)} < i$$ Jangan pernah keliru menukar posisi $d$ dan $i$!
Selalu cari nilai $(1+i)$ dari informasi yang diketahui: $(1+i) = (1-d)^{-1} = (1 + i^{(m)}/m)^m = (1 - d^{(p)}/p)^{-p}$.
Bila mencari $i^{(m)}$ dari $d^{(m)}$ (frekuensi sama $m$), langsung gunakan: $$\frac{1}{d^{(m)}} - \frac{1}{i^{(m)}} = \frac{1}{m} \implies \frac{1}{i^{(m)}} = \frac{1}{d^{(m)}} - \frac{1}{m}$$ Menghemat waktu hingga 70% di lembar ujian!
Gunakan menu [2nd] [ICONV] pada kalkulator Texas Instruments BA II Plus: masukkan NOM, tekan [ENTER], set C/Y = m, tekan [CPT] pada EFF untuk mendapatkan suku bunga efektif secara instan.
Pengukuran Bunga (Bagian 3): Force of Interest, Bunga Bervariasi & Inflasi Fisher
Puncak pemodelan kalkulus diferensial dan integral dalam matematika keuangan FMIPA UI. Membedah secara linear 1:1 dari 34 slide perkuliahan resmi: force of interest konstan ($\delta$) sebagai limit frekuensi tak terhingga, force of interest kontinu bervariasi ($\delta_t$), integral akumulasi & diskonto, akumulasi bunga multi-fase, serta analisis erosi daya beli riil menggunakan Persamaan Fisher eksak.
Constant Force of Interest ($\delta$) & Pemajemukan Kontinu
Slide 3 – 7 / 34 • Limit Frekuensi Konversi Menuju Tak Hingga
💡 Intuisi Limit: Dari Diskrit ke Kontinu
Jika frekuensi konversi $m$ terus diperbesar tanpa batas ($m \to \infty$), pemajemukan bunga terjadi secara kontinu (setiap detik, mikrodetik, dan instan). Besaran limit dari tingkat nominal $i^{(m)}$ disebut sebagai Force of Interest ($\delta$):
Hubungan fundamental dengan suku bunga efektif tahunan $i$ dan faktor diskonto $v$:
Untuk setiap horizon waktu $t \ge 0$, fungsi akumulasi adalah: $$a(t) = e^{\delta t}, \quad a^{-1}(t) = e^{-\delta t}$$
📐 Penurunan Formal Limit via Aturan L'Hôpital (Slide 4 – 6)
Buktikan bahwa $\lim_{m \to \infty} i^{(m)} = \ln(1+i)$. Berdasarkan hubungan $i^{(m)} = m[(1+i)^{1/m} - 1]$:
Dengan cara serupa pada $d^{(m)} = m[1 - (1-d)^{1/m}]$, diperoleh $\lim_{m \to \infty} d^{(m)} = -\ln(1-d) = \delta$.
Variable Force of Interest ($\delta_t$) & Akumulasi Integral
Slide 8 – 14 / 34 • Laju Pertumbuhan Proporsional Kontinu
⚡ Definisi Diferensial $\delta_t$ (Slide 8 – 10)
Force of interest pada instan waktu $t$ didefinisikan sebagai laju perubahan relatif dari fungsi akumulasi atau fungsi jumlah:
Dengan mengintegralkan kedua sisi dari $0$ hingga $t$, karena $a(0) = 1$:
Fungsi diskontonya:
💰 Jumlah Bunga Melalui Integral (Slide 14)
Total bunga nominal yang dihasilkan oleh saldo dana $A(t)$ antara waktu $t_1$ dan $t_2$ diperoleh dengan mengintegrasikan produk $A(t)\delta_t$:
Pembuktian Slide 14: Karena $A'(t) = A(t)\delta_t$, maka berdasarkan Teorema Fundamental Kalkulus: $$\int_{t_1}^{t_2} A'(t) \, dt = [A(t)]_{t_1}^{t_2} = A(t_2) - A(t_1)$$
Bunga Bervariasi Multi-Fase & Teori Inflasi Fisher
Slide 20 – 31 / 34 • Pergeseran Parameter Waktu & Daya Beli Riil
🔄 Bunga Bervariasi Multi-Fase (Slide 20 & 25)
Jika suatu dana mengalami perubahan tingkat bunga atau diskonto pada sub-interval berbeda ($i_1$ untuk $n_1$ tahun, $i_2$ untuk $n_2$ tahun, atau $d_k$ per tahun):
📈 Teori Inflasi & Persamaan Fisher Eksak (Slide 26 – 31)
Inflasi mereduksi daya beli uang. Misalkan $i$ adalah suku bunga nominal investasi, $r$ adalah suku bunga riil (kenaikan daya beli), dan $j$ (atau $r'$) adalah tingkat laju inflasi:
Bedah 7 Contoh Soal Asli Slide Dosen UI (Contoh 1 s.d. 7)
Materi Lengkap Ujian Kuis 1 • Solusi Formal & Langkah Rinci
Carilah nilai akumulasi dari uang sebesar $USD 1.000$ yang diinvestasikan untuk 10 tahun jika force of interest $5\%$.
Uang berakumulasi pada force of interest bervariasi yang memiliki persamaan: $$\delta_t = 0{,}05 + 0{,}01t, \quad 0 \le t \le 4$$ Tentukanlah total present value pada waktu $t = 0$ dari dua pembayaran sebesar $USD 100$, masing-masing dibayarkan pada waktu $t = 2$ dan $t = 4$.
Sebuah investasi yang dilakukan untuk waktu 1 tahun mempunyai fungsi akumulasi polinomial derajat 2: $$a(t) = at^2 + bt + c$$ Tingkat bunga nominal yang dihasilkan selama setengah tahun pertama adalah $5\%$ convertible semiannually. Tingkat bunga efektif yang dihasilkan selama satu tahun secara keseluruhan adalah $7\%$. Hitunglah $\delta_{0{,}5}$.
Tentukan nilai akumulasi dari $USD 1.000$ pada akhir tahun ke-15 jika tingkat bunga efektif adalah $5\%$ untuk 5 tahun pertama, $4{,}5\%$ untuk 5 tahun kedua, dan $4\%$ untuk 5 tahun ketiga.
Diketahui tingkat diskonto efektif tahunan sebesar $8\%$ pada tahun pertama, $7\%$ pada tahun kedua, dan $6\%$ pada tahun ketiga. Tentukan tingkat bunga efektif tahunan ekuivalen (konstan) selama periode investasi 3 tahun tersebut.
Dalam Fund X uang berakumulasi pada force of interest:
$$\delta_t = 0{,}01t + 0{,}1, \quad 0 \le t \le 20$$
Dalam Fund Y uang berakumulasi pada tingkat bunga efektif tahunan konstan $i$.
Uang sebesar 1 diinvestasikan pada masing-masing dana selama 20 tahun. Nilai Fund X pada akhir 20 tahun sama dengan nilai Fund Y pada akhir 20 tahun. Hitunglah nilai Fund Y pada akhir tahun ke-$1{,}5$.
Tamilla mau menginvestasikan uang sebesar $USD 10.000$ selama 1 tahun dengan syarat daya beli uangnya naik minimal $4\%$ ($j' = 4\%$). Dia memperkirakan inflasi tahun depan adalah sebesar $3\%$ ($r' = 3\%$).
(a) Berapa bunga minimum yang harus ditawarkan agar Tamilla mau menginvestasikan uangnya?
(b) Berapakah tingkat pertumbuhan daya beli yang diharapkan oleh Tamilla jika ia menginvestasikan uangnya selama 1 tahun pada tingkat bunga efektif tahunan $8\%$?
(c) Berapakah tingkat pertumbuhan daya beli aktual Tamilla jika inflasi aktual dalam satu tahun sebesar $3{,}5\%$ dan Tamilla menginvestasikan uangnya pada tingkat bunga efektif tahunan $8\%$?
Jika $\delta_t = 0{,}05 + 0{,}01t$, banyak mahasiswa keliru menghitung akumulasi 4 tahun sebagai $e^{(0{,}05 + 0{,}01 \times 4) \times 4} = e^{0{,}36}$. Yang benar WAJIB diintegralkan: $\int_0^4 (0{,}05 + 0{,}01t)\,dt = 0{,}28 \implies a(4) = e^{0{,}28}$.
Rumus perkiraan populer $r \approx i - j$ menghasilkan error yang menyebabkan salah memilih opsi MCQ pada soal ujian UI. Selalu gunakan pembagi $(1+j)$ secara eksak: $r = \frac{i - j}{1 + j}$.
Untuk mendiskontokan dari $t$ ke $0$, pangkat eksponensialnya adalah $-\int_0^t \delta_s \, ds$. Jangan sampai tertukar tanda minusnya!
Jika konstan, langsung gunakan $e^{\delta t}$. Jika fungsi terhadap $t$, siapkan integral tentu $\int_{t_1}^{t_2} \delta_t \, dt$.
Jika diketahui $a(t)$ dalam bentuk polinomial atau rasional, cari $\delta_t$ dengan rumus $\frac{a'(t)}{a(t)}$ tanpa perlu repot mengubah ke bentuk eksponensial.
Bila $a_X(t) = e^k$ dan $a_Y(t) = (1+i)^t$, jangan cari nilai desimal dari $i$ terlebih dahulu jika ingin mencari $(1+i)^s$. Cukup substitusi $(1+i)^s = (e^{k/t})^s = e^{ks/t}$ (seperti Contoh 6: $e^{4(1{,}5)/20} = e^{0{,}3}$).
Persamaan Nilai & Tingkat Imbal Hasil (Bagian 1): Persamaan Nilai, Waktu & Suku Bunga Tak Diketahui, serta Konvensi Hari
Tonggak analitis penentu transaksi keuangan majemuk. Membedah secara linear 1:1 dari 58 slide perkuliahan resmi FMIPA UI: prinsip persamaan nilai (*equation of value*), bukti matematis mengapa pilihan tanggal pembanding (*focal date*) netral pada bunga majemuk namun bias pada bunga sederhana, estimasi waktu tak diketahui via *Method of Equated Time* ($\bar{t}$) vs eksak, interpolasi linear suku bunga tak diketahui, serta 3 konvensi hari standar pasar uang (*Aktual/Aktual*, *30/360*, dan *Banker's Rule*).
Kuis 1 diselenggarakan pada Pekan 4 (Kamis, 17 Sept 2026) dan menguji Materi Pekan 1 s.d. Pekan 3. Materi Pekan 4 ini diajarkan setelah Kuis 1 dan diujikan pada Kuis 2 dan UTS (Pekan 8, Bobot 30%).
Persamaan Nilai (Equation of Value) & Tanggal Pembanding
Slide 3 – 21 / 58 • Prinsip Kesetaraan Arus Kas Finansial
⚖️ Prinsip Fundamental Persamaan Nilai
Dalam transaksi keuangan majemuk, kewajiban masuk (penerimaan/pinjaman) harus setara dengan kewajiban keluar (pembayaran/cicilan) ketika dievaluasi pada suatu titik waktu yang sama yang disebut sebagai Tanggal Pembanding (Comparison Date / Focal Date):
Diagram waktu (*time diagram*) adalah alat visual wajib aktuaria untuk memetakan setiap arus kas pada garis waktu sebelum membawanya maju (mengalikan $(1+i)^{\Delta t}$) atau membawanya mundur (mengalikan $v^{\Delta t}$).
⚡ Bunga Majemuk vs Bunga Sederhana pada Focal Date
Pilihan waktu pembanding TIDAK mempengaruhi hasil akhir nilai yang dicari! Mengalikan kedua ruas dengan $(1+i)^k$ tidak mengubah akar persamaan karena $(1+i)^{t_1}(1+i)^k = (1+i)^{t_1+k}$ (memenuhi hukum indeks eksponensial).
Pilihan waktu pembanding MEMPENGARUHI hasil akhir secara numerik! Bunga sederhana tidak aditif secara multiplikatif ($1 + s(t_1+t_2) \ne (1+st_1)(1+st_2)$), sehingga kedua pihak wajib menyepakati tanggal pembanding di awal kontrak.
Waktu yang Tidak Diketahui (Unknown Time) & Method of Equated Time
Slide 22 – 31 / 58 • Metode Eksak vs Metode Aproksimasi
🎯 Metode Eksak (Exact Method)
Misalkan beberapa pembayaran $s_1, s_2, \dots, s_k$ pada waktu $t_1, t_2, \dots, t_k$ akan digantikan dengan satu kali pembayaran sebesar $\sum s_k$ pada waktu tunggal $t$:
Selesaikan peubah waktu $t$ dengan menerapkan logaritma natural:
📊 Metode Aproksimasi (Method of Equated Time $\bar{t}$)
Pendekatan rata-rata aritmetika terbobot sederhana tanpa memperhitungkan faktor bunga diskonto:
Suku Bunga Tak Diketahui & 3 Konvensi Hari Standar Pasar Uang
Slide 32 – 53 / 58 • Solusi Kuadratik, Interpolasi Linear, & Kalender Pasar
🔍 Penentuan Suku Bunga Tak Diketahui ($i$)
Jika arus kas maksimal berdurasi 2 tahun, persamaan bernilai dalam bentuk $a(1+i)^2 + b(1+i) + c = 0$, yang diselesaikan langsung menggunakan rumus abc.
Untuk derajat $\ge 3$, tebak dua suku bunga $i_1$ dan $i_2$ yang menghasilkan nilai di bawah dan di atas target, lalu hitung interpolasinya:
📅 3 Konvensi Perhitungan Hari Pasar Uang (Slide 39 – 45)
Hari dihitung secara eksak berdasarkan kalender (365 hari, atau 366 hari pada tahun kabisat). Pembagi: 365/366.
Setiap bulan diasumsikan memiliki 30 hari. Jumlah hari: $$d = 360(Y_2 - Y_1) + 30(M_2 - M_1) + (D_2 - D_1)$$ Pembagi: 360.
Jumlah hari dihitung aktual, namun pembaginya menggunakan 360 hari. Paling menguntungkan bank/lender karena menghasilkan beban bunga tertinggi!
Bedah 11 Contoh Soal Asli Slide Dosen UI (Contoh 1 s.d. 11)
Materi Lengkap Ujian Kuis 2 & UTS • Solusi Formal & Langkah Rinci
Sebagai imbalan atas janji untuk menerima $USD 600$ pada akhir 8 tahun, seseorang setuju untuk membayar $USD 100$ saat ini, $USD 200$ pada akhir 5 tahun, dan melakukan pembayaran selanjutnya sebesar $X$ pada akhir 10 tahun.
Tentukanlah besar pembayaran $X$ pada akhir 10 tahun jika pinjaman tersebut memberlakukan tingkat bunga nominal $8\%$ dikonversi setengah tahunan ($i^{(2)} = 8\%$).
• Di waktu $t = 0$: $$100 + 200(1{,}04)^{-10} + X(1{,}04)^{-20} = 600(1{,}04)^{-16}$$ $$100 + 200(0{,}675564) + X(0{,}456387) = 600(0{,}533908)$$ $$100 + 135{,}11 + 0{,}456387X = 320{,}34 \implies 0{,}456387X = 85{,}23 \implies X = \mathbf{\text{USD } 465{,}47}$$
• Di waktu $t = 10$ tahun ($20$ semester): $$100(1{,}04)^{20} + 200(1{,}04)^{10} + X = 600(1{,}04)^4$$ $$219{,}11 + 296{,}05 + X = 701{,}92 \implies 515{,}16 + X = 701{,}92 \implies X = \mathbf{\text{USD } 465{,}47}$$
• Di waktu $t = 8$ tahun ($16$ semester): $$100(1{,}04)^{16} + 200(1{,}04)^6 + X(1{,}04)^{-4} = 600 \implies X = \mathbf{\text{USD } 465{,}47}$$
Mary meminjam $USD 1.000$ pada tingkat bunga sederhana $11\%$ per tahun. Dia mengembalikan pinjaman tersebut dengan tiga kali pembayaran yang sama besar ($X$). Pembayaran pertama dilakukan di akhir bulan ke-3, pembayaran kedua di akhir bulan ke-6, dan pembayaran ketiga di akhir bulan ke-9.
Tentukanlah besar pembayaran $X$, jika waktu pembanding:
(a) saat ini ($t = 0$);
(b) di akhir bulan ke-6 ($t = 6/12$);
(c) di akhir bulan ke-9 ($t = 9/12$).
Untuk mengembalikan penerimaan sebesar $USD 2.000$ pada akhir tahun ke-4 dan $USD 5.000$ di akhir tahun ke-10, seorang investor setuju untuk membayar $USD 3.000$ saat ini ($t = 0$) dan sejumlah pembayaran tambahan $X$ di akhir tahun ke-3 ($t = 3$).
Tentukan jumlah pembayaran tambahan $X$ jika $i^{(4)} = 0{,}06$.
Tentukan lamanya waktu yang diperlukan agar uang sebesar $USD 1.000$ terakumulasi menjadi $USD 1.500$ jika diinvestasikan pada tingkat bunga $6\%$ per tahun compounded semiannually ($i^{(2)} = 6\%$).
Pembayaran sebesar $USD 100$, $USD 200$, dan $USD 500$ masing-masing jatuh tempo pada akhir tahun 2, 3, dan 8. Dengan asumsi tingkat bunga efektif $5\%$ per tahun, tentukanlah titik waktu di mana pembayaran-pembayaran tersebut akan setara dengan satu kali pembayaran sebesar $USD 800$ dengan menggunakan metode:
(1) Eksak;
(2) Aproksimasi (Method of Equated Time).
Anda menginvestasikan $USD 3.000$ hari ini ($t = 0$) dan berencana untuk investasi lagi sebesar $USD 2.000$ dua tahun dari sekarang ($t = 2$). Anda berencana untuk mengambil $USD 5.000$ di tahun $n$ dan $USD 5.000$ di tahun $n + 5$ yang sekaligus menghabiskan semua investasi di waktu tersebut.
Jika tingkat diskonto efektif adalah $6\%$ per tahun ($d = 6\%$), tentukanlah $n$.
Tentukanlah nilai tingkat bunga nominal yang terkonversi per kuartal ($i^{(4)}$) agar uang sebesar $USD 1.000$ berakumulasi menjadi $USD 1.600$ dalam enam tahun.
Tentukanlah tingkat bunga efektif dari pembayaran sebesar $USD 300$ saat ini ($t = 0$), $USD 200$ di akhir tahun pertama ($t = 1$), dan $USD 100$ pada akhir tahun kedua ($t = 2$) yang terakumulasi menjadi $USD 700$ di akhir tahun kedua ($t = 2$).
Diana membuka rekening tabungan dengan deposito awal sebesar $USD 5.000$. Kemudian membayarkan setoran lagi sebesar $USD 3.000$ setahun kemudian ($t = 1$) dan sebesar $USD 2.000$ setahun setelah itu ($t = 2$). Tabungannya dikreditkan pada tingkat bunga efektif tahunan sebesar $i$. Tiga tahun setelah Diana membuka rekening, saldonya sudah mencapai $USD 11.000$ pada akhir tahun ke-3 ($t = 3$). Tentukanlah nilai $i$.
• Untuk $i = 5\% = 0{,}05$: $$AV(0{,}05) = 5.000(1{,}05)^3 + 3.000(1{,}05)^2 + 2.000(1{,}05) = 5.788{,}13 + 3.307{,}50 + 2.100 = \mathbf{\text{USD } 11.195{,}63}$$
• Untuk $i = 0\%$: $AV(0) = 5.000 + 3.000 + 2.000 = \text{USD } 10.000$.
• Untuk $i = 4\% = 0{,}04$: $$AV(0{,}04) = 5.000(1{,}124864) + 3.000(1{,}0816) + 2.000(1{,}04) = 5.624{,}32 + 3.244{,}80 + 2.080 = \mathbf{\text{USD } 10.949{,}12}$$
Jika investasi dilakukan pada tanggal 7 Desember 2021 dan berakhir pada tanggal 8 Agustus 2025. Berapa hari lamanya investasi dilakukan jika menggunakan:
(a) Aktual/aktual;
(b) 30/360;
(c) Banker's rule.
• Sisa hari tahun 2021: 7 Des s.d. 31 Des = $31 - 7 = 24$ hari.
• Tahun 2022 = $365$ hari.
• Tahun 2023 = $365$ hari.
• Tahun 2024 = $366$ hari (Tahun Kabisat!).
• Tahun 2025: 1 Jan s.d. 8 Ags: Jan (31) + Feb (28) + Mar (31) + Apr (30) + Mei (31) + Jun (30) + Jul (31) + 8 = $220$ hari.
• Total hari aktual = $24 + 365 + 365 + 366 + 220 = \mathbf{1.340\text{ hari}}$.
Tentukan besar bunga yang dihasilkan dari uang sebesar $USD 2.000$ yang didepositokan pada tanggal 17 Juni jika ditarik pada tanggal 10 September di tahun yang sama dengan tingkat bunga sederhana $8\%$ dan asumsi:
(a) Bunga sederhana eksak (Aktual/aktual);
(b) Bunga sederhana biasa (30/360);
(c) Banker's rule (Aktual/360).
• Hari 30/360: $30(9 - 6) + (10 - 17) = 90 - 7 = 83$ hari.
Pengantar Tingkat Imbal Hasil (Yield Rate), NPV & IRR
Slide 54 – 57 / 58 • Evaluasi Kelayakan Investasi Proyek
💵 Net Present Value (NPV) (Slide 54 – 56)
NPV mengukur selisih antara nilai sekarang arus kas masuk (*cash inflow*) dan arus kas keluar (*cash outflow*) pada suku bunga diskonto $i$:
- Jika $NPV > 0$: Proyek menghasilkan keuntungan melebihi biaya modal (layak diterima).
- Jika $NPV < 0$: Proyek merugikan (harus ditolak).
📈 Internal Rate of Return (IRR) (Slide 57)
IRR adalah tingkat diskonto unik $i^*$ yang membuat nilai sekarang bersih proyek tepat sama dengan nol:
Jika $IRR > \text{biaya modal (cost of capital)}$, proyek investasi tersebut menguntungkan dan disetujui.
Tingkat Imbal Hasil (Bagian 2): Dollar-Weighted vs Time-Weighted Rate of Interest
Metrik evaluasi kinerja investasi profesional paling krusial di dunia keuangan aktuarial. Membedah secara linear 1:1 dari 30 slide perkuliahan resmi: Dollar-Weighted Rate of Interest ($I_{DW}$) berbasis arus kas modal investor, metode aproksimasi bunga sederhana, rumus regulator asuransi AS/Kanada, serta Time-Weighted Rate of Interest ($I_{TW}$) yang mengisolasi keputusan manajer portofolio dari pengaruh waktu setoran dana eksternal.
Materi Pekan 5 merupakan batas penutup bahan KUIS 2 (yang menguji Pekan 4 dan Pekan 5) serta masuk secara berbobot ke dalam soal esai komputasi portofolio pada UTS (Pekan 8).
Dollar-Weighted Rate of Interest ($i_{DW}$)
Slide 3 – 16 / 30 • Konsep Bunga Berbobot Modal & Metode Aproksimasi
💵 Definisi & Persamaan Nilai Eksak
Misalkan saldo awal dana adalah $A$ pada $t = 0$, saldo akhir adalah $B$ pada $t = 1$, dan terdapat arus kas bersih $C_t$ (deposit bernilai positif, penarikan bernilai negatif) pada waktu $t \in [0, 1]$:
Total bunga yang diperoleh dana selama tahun berjalan:
Karena persamaan eksak di atas berbentuk polinomial fraksional yang sulit diselesaikan tanpa kalkulator finansial, maka aktuaria menggunakan metode aproksimasi bunga sederhana.
📐 2 Formula Aproksimasi Populer (Slide 9 & 14)
Dengan asumsi $(1+i)^{1-t} \approx 1 + (1-t)i$:
Penyebut menyatakan rata-rata tertimbang modal yang tertanam selama 1 tahun.
Jika seluruh kontribusi bersih $C$ diasumsikan terjadi di pertengahan tahun ($t = 0{,}5$):
Rumus cepat ini tidak memerlukan rincian tanggal setiap transaksi kas.
Time-Weighted Rate of Interest ($i_{TW}$)
Slide 17 – 27 / 30 • Mengeliminasi Distorsi Arus Kas Eksternal
⚖️ Mengapa Dibutuhkan Time-Weighted?
Manajer portofolio tidak memiliki kontrol atas kapan nasabah menyetor atau menarik uang. Bila nasabah menyetor dana raksasa sesaat sebelum pasar saham melonjak, $i_{DW}$ akan melonjak tinggi meskipun manajer tidak melakukan pemilihan saham yang istimewa.
📈 Formula Time-Weighted Rate (Slide 27)
Misalkan terdapat $m$ sub-interval. Imbal hasil pada sub-interval ke-$k$ ($j_k$):
$B_k'$ adalah nilai saldo tepat sebelum arus kas pada $t_k$, dan $C_{k-1}'$ adalah arus kas pada awal sub-periode.
Bedah 4 Contoh Soal Asli Slide Dosen UI (Contoh 1 s.d. 4)
Materi Lengkap Ujian Kuis 2 & UTS • Solusi Formal & Langkah Rinci
Pada awal tahun, sebuah dana investasi didirikan dengan setoran awal sebesar USD 3.000. Pada akhir bulan keenam ($t = 6/12$), dilakukan setoran baru sebesar USD 1.500. Penarikan sebesar USD 500 dan USD 800 dilakukan masing-masing pada akhir bulan keempat ($t = 4/12$) dan bulan kedelapan ($t = 8/12$). Jumlah dana pada akhir tahun adalah USD 3.876.
(a) Susunlah persamaan nilai (*equation of value*) untuk menghitung tingkat bunga berbobot dolar (*dollar-weighted rate of interest*).
(b) Carilah nilai hampiran dari tingkat bunga efektif tersebut.
• Total arus kas masuk/keluar: $C = 1.500 - 500 - 800 = +200$.
• Bunga yang diperoleh: $I = B - A - C = 3.876 - 3.000 - 200 = 676$.
• Bobot waktu arus kas: $$\sum C_t (1-t) = 1.500\left(1 - \frac{6}{12}\right) - 500\left(1 - \frac{4}{12}\right) - 800\left(1 - \frac{8}{12}\right)$$ $$\sum C_t (1-t) = 1.500(0{,}5) - 500\left(\frac{2}{3}\right) - 800\left(\frac{1}{3}\right) = 750 - 333{,}33 - 266{,}67 = 150$$
• Tingkat bunga hampiran: $$i \approx \frac{I}{A + \sum C_t (1-t)} = \frac{676}{3.000 + 150} = \frac{676}{3.150} \approx \mathbf{0{,}2146 = 21{,}46\%}$$
Sebuah dana memiliki saldo sebesar USD 100.000 pada tanggal 1 Januari dan USD 125.000 pada tanggal 31 Desember. Bunga yang diperoleh dana selama tahun tersebut adalah sebesar USD 10.000.
Hitung hasil bersih (*net yield*) yang diperoleh dana dengan asumsi bahwa kontribusi bersih terjadi pada tanggal 1 April ($t = 3/12 = 0{,}25$).
Misalkan seorang investor melakukan transaksi pembayaran dan penarikan sebagai berikut:
• 01/01/2003: Saldo awal USD 100.000.
• 30/06/2003: Saldo sebelum arus kas USD 74.681. Setoran dana baru +USD 1.000.000 sehingga saldo menjadi USD 1.074.681.
• 31/12/2003: Saldo akhir tahun USD 1.474.081.
(a) Hitunglah *dollar-weighted rate of interest* yang dinikmati investor.
(b) Hitunglah *time-weighted rate of interest* dari manajer investasi.
• $A = 100.000$, $B = 1.474.081$, $C = 1.000.000$ pada $t = 0{,}5$.
• $I = B - A - C = 1.474.081 - 100.000 - 1.000.000 = 374.081$.
• $$i_{DW} \approx \frac{I}{A + C(1 - 0{,}5)} = \frac{374.081}{100.000 + 1.000.000(0{,}5)} = \frac{374.081}{600.000} \approx \mathbf{62{,}35\%}$$
• Sub-interval 1 (Semester 1): $1 + j_1 = \frac{74.681}{100.000} = 0{,}74681$ (turun $-25{,}32\%$).
• Sub-interval 2 (Semester 2): $1 + j_2 = \frac{1.474.081}{1.074.681} \approx 1{,}371645$ (naik $+37{,}16\%$).
• $$1 + i_{TW} = (1 + j_1)(1 + j_2) = (0{,}74681)(1{,}371645) = 1{,}024357 \implies i_{TW} \approx \mathbf{2{,}44\%}$$
Diberikan data rekening investasi selama 1 tahun (30 Juni 2001 s.d. 30 Juni 2002):
• 30 Jun 01: Saldo awal USD 12.000.
• 30 Sep 01: Saldo USD 10.000; ada setoran USD 2.000.
• 31 Des 01: Saldo USD 14.000; ada penarikan USD 2.000.
• 31 Mar 02: Saldo USD 13.000; ada setoran USD 2.000 dan penarikan USD 2.000 (net arus kas $= 0$).
• 30 Jun 02: Saldo akhir $X$.
Jika tingkat pengembalian *dollar-weighted* tahunan adalah tepat $10\%$, tentukan nilai dari tingkat pengembalian *time-weighted* selama periode tersebut!
• Kuartal 1: $1 + j_1 = \frac{10.000}{12.000} = \frac{5}{6} \approx 0{,}833333$
• Kuartal 2: $1 + j_2 = \frac{14.000}{10.000 + 2.000} = \frac{14.000}{12.000} = \frac{7}{6} \approx 1{,}166667$
• Kuartal 3: $1 + j_3 = \frac{13.000}{14.000 - 2.000} = \frac{13.000}{12.000} = \frac{13}{12} \approx 1{,}083333$
• Kuartal 4: $1 + j_4 = \frac{X}{13.000 + 0} = \frac{13.250}{13.000} \approx 1{,}019231$
Deposit menambah dana ($+C_t$), sedangkan penarikan (*withdrawal*) mengurangi dana ($-C_t$). Bila salah tanda, pembagi penyebut modal akan meleset dan nilai $i$ menjadi salah total.
Saat menghitung rasio $1+j_k$, penyebutnya adalah saldo tepat sebelum arus kas ditambah arus kas yang masuk pada awal sub-periode tersebut, BUKAN saldo sebelum transaksi saja!
Jika soal menanyakan: “Tingkat pengembalian yang objektif untuk mengevaluasi manajer portofolio”, jawabannya SELALU Time-Weighted Rate, bukan Dollar-Weighted!
Tuliskan tanggal, saldo sebelum transaksi ($B_k'$), nilai transaksi ($C_k'$), dan saldo setelah transaksi ($B_k' + C_k'$).
Bagi saldo sebelum transaksi periode berikutnya dengan saldo setelah transaksi periode sebelumnya: $\frac{B_{k}'}{B_{k-1}' + C_{k-1}'}$.
Kalikan seluruh rasio untuk mendapatkan $1 + i_{TW}$, lalu kurangkan dengan 1. Selesai dalam waktu di bawah 2 menit!
Anuitas Dasar (Bagian 1): Anuitas Biasa, Anuitas Dimuka & Anuitas Ditunda
Fondasi komputasi seluruh produk asuransi jiwa, dana pensiun, dan cicilan pembiayaan. Membedah secara linear 1:1 dari 35 slide perkuliahan resmi: anuitas biasa/akhir (*annuity-immediate* $a_{\overline{n}|}$ dan $s_{\overline{n}|}$), anuitas di muka (*annuity-due* $\ddot{a}_{\overline{n}|}$ dan $\ddot{s}_{\overline{n}|}$), anuitas ditunda (*deferred annuity* $m|a_{\overline{n}|}$), penilaian anuitas pada sembarang waktu ($s_{\overline{t}|} + a_{\overline{n-t}|}$), serta 4 teknik pemodelan arus kas ekuivalen.
Anuitas Biasa / Akhir Periode (Annuity-Immediate)
Slide 3 – 15 / 35 • Pembayaran Dilakukan di Akhir Setiap Periode
📉 Nilai Sekarang Anuitas Biasa ($a_{\overline{n}|}$)
Nilai sekarang pada $t = 0$ dari deret $n$ pembayaran masing-masing sebesar 1 unit di akhir periode $t = 1, 2, \dots, n$:
Jika besar pembayaran konstan sebesar $R$, maka nilai sekarangnya adalah $PV = R \cdot a_{\overline{n}|}$.
📈 Nilai Akumulasi Anuitas Biasa ($s_{\overline{n}|}$) & Hubungan Kunci
Nilai akumulasi tepat setelah pembayaran terakhir pada $t = n$:
Anuitas Dimuka (Annuity-Due) & Anuitas Ditunda (Deferred)
Slide 16 – 29 / 35 • Pembayaran Dilakukan di Awal Periode
⏰ Anuitas Dimuka ($\ddot{a}_{\overline{n}|}$ dan $\ddot{s}_{\overline{n}|}$)
Pembayaran dilakukan di AWAL setiap periode ($t = 0, 1, \dots, n-1$). Karena setiap pembayaran berbunga 1 periode lebih awal:
⏳ Anuitas Ditunda & Anuitas di Sembarang Waktu
Anuitas ditunda selama $m$ periode ($m|a_{\overline{n}|}$), pembayaran dimulai setelah $m$ periode:
Nilai pada waktu antara $t \in (0, n)$:
Bedah 8 Contoh Soal Asli Slide Dosen UI (Contoh 1 s.d. 8)
Materi Lengkap UTS • Solusi Formal & Langkah Rinci
Tentukanlah nilai sekarang dan nilai akumulasi dari anuitas biasa dengan pembayaran sebesar USD 1.000 setiap tahun selama 10 tahun, jika tingkat bunga efektif tahunan adalah $6\%$.
Seseorang membeli mobil seharga USD 20.000 dengan pinjaman berbunga $9\%$ per tahun compounded monthly yang dicicil selama 4 tahun setiap akhir bulan. Berapakah besar cicilan setiap bulannya?
Seseorang menabung USD 250 di akhir setiap bulan ke dalam rekening pensiun dengan suku bunga $6\%$ per tahun convertible monthly selama 30 tahun. Berapakah total saldo yang terkumpul di akhir tahun ke-30?
Hitunglah nilai sekarang dan nilai akumulasi dari anuitas dimuka sebesar USD 1.000 setiap tahun selama 10 tahun pada suku bunga efektif tahunan $6\%$.
Perusahaan menyewa gedung kantor selama 5 tahun dengan uang sewa USD 12.000 yang dibayarkan di awal setiap tahun. Jika tingkat bunga efektif tahunan adalah $8\%$, hitunglah nilai tunai seluruh pembayaran sewa gedung tersebut!
Seseorang mulai menabung USD 3.000 di awal setiap tahun sejak usia 40 hingga 64 tahun (total 25 kali setoran). Pada usia 65 tahun, ia mulai menarik dana pensiun dalam jumlah tahunan tetap di setiap awal tahun selama 20 tahun (usia 65 hingga 84 tahun).
Tingkat bunga efektif adalah $8\%$ selama 25 tahun pertama, dan turun menjadi $7\%$ setelahnya. Berapakah besar penarikan tahunan yang dapat dinikmati?
Pada ulang tahun ke-18, Latisha menerima anuitas yang akan membayar sebesar USD 5.000 pada hari ulang tahunnya yang ke-25 hingga ke-39 tahun (total 15 kali pembayaran).
Hitunglah nilai anuitas tersebut saat ulang tahun Latisha ke-18 ($t = 18$) menggunakan tingkat bunga efektif tahunan $5\%$.
Anuitas X dan Y menyediakan pembayaran tahunan di akhir tahun:
• Anuitas X: bayar 1 pada tahun 1–10, bayar 2 pada tahun 11–20, bayar 1 pada tahun 21–30.
• Anuitas Y: bayar $K$ pada tahun 1–10, bayar 0 pada tahun 11–20, bayar $K$ pada tahun 21–30.
Jika nilai sekarang Anuitas X sama dengan Anuitas Y ($PV_X = PV_Y$), tentukanlah nilai $K$.
Anuitas Dasar (Bagian 2): Perpetuitas, Waktu & Suku Bunga Tak Diketahui
Materi pamungkas penutup Blok Pra-UTS di FMIPA UI. Membedah secara linear 1:1 dari 25 slide perkuliahan resmi: anuitas tanpa batas waktu (*perpetuity* $a_{\overline{\infty}|} = 1/i$ dan $\ddot{a}_{\overline{\infty}|} = 1/d$), penanganan pembayaran fraksional tak bulat melalui teknik Balloon Payment vs Drop Payment, penentuan tingkat bunga anuitas, serta penilaian anuitas pada rezim multi-fase suku bunga bervariasi.
Pekan 7 adalah materi terakhir dari silabus UTS (Pekan 1 s.d. Pekan 7). Seluruh soal UTS FMIPA UI (bobot 30%) bersumber dari gabungan Pengukuran Bunga, Persamaan Nilai, dan Anuitas Dasar.
Perpetuitas Biasa & Perpetuitas Dimuka
Slide 3 – 7 / 25 • Anuitas dengan Horizon Waktu Tak Hingga ($n \to \infty$)
♾️ Perpetuitas Biasa & Dimuka
Anuitas yang pembayarannya berlangsung selamanya tanpa jatuh tempo (seperti dividen saham preferen atau dana abadi universitas/wakaf):
💡 Intuisi Finansial Perpetuitas
Jika modal sebesar $P = \frac{1}{i}$ disimpan di bank dengan bunga $i$, maka setiap akhir tahun bunga yang dihasilkan adalah $P \times i = \left(\frac{1}{i}\right)i = 1$.
Bunga 1 unit ini dapat diambil setiap tahun selamanya tanpa mengurangi pokok simpanan awal $P$ sedikit pun!
Waktu Tak Diketahui ($n$): Balloon Payment vs Drop Payment
Slide 8 – 15 / 25 • Rekonsiliasi Periode Pembayaran Tidak Bulat
🎯 Solusi Logaritma & Fraksi Waktu ($n = k + f$)
Ketika menyelesaikan $L = R \cdot a_{\overline{n}|}$, seringkali $n$ bukan bilangan bulat melainkan $n = k + f$ dengan $k$ bulat dan $0 < f < 1$. Dua opsi pembayaran akhir yang digunakan dalam praktik:
Membayar cicilan reguler $R$ ditambah saldo sisa $X_1$ sekaligus di waktu $k$:
💧 Drop Payment (di waktu $t = k + 1$)
Membayar cicilan reguler $R$ sebanyak $k$ kali, lalu satu periode setelahnya ($t = k+1$) membayar sisa cicilan yang lebih kecil $X_2 < R$:
Sisa pembayaran di $k+1$ persis sama dengan nilai terakumulasi dari balloon payment $X_1$ selama 1 periode.
Bedah 7 Contoh Soal Asli Slide Dosen UI (Contoh 1 s.d. 7)
Materi Lengkap UTS • Solusi Formal & Langkah Rinci
Deposito sebesar USD 1.000 ditempatkan ke dalam suatu akun penyimpanan setiap awal tahun selama 20 tahun ke depan. Setelah 30 tahun dari sekarang ($t = 30$), pembayaran tahunan dimulai dan berlanjut selamanya, dengan pembayaran pertama terjadi di akhir tahun ke-30. Tentukan ekspresi untuk menyatakan besar dari setiap pembayaran $R$ yang berkelanjutan tersebut!
Investasi sebesar USD 1.000 digunakan untuk menghasilkan pembayaran sebesar USD 100 pada akhir setiap tahun selama mungkin. Jika dana menghasilkan tingkat bunga efektif tahunan $5\%$, tentukanlah berapa banyak pembayaran reguler yang dapat dilakukan, serta tentukanlah besar pembayaran sisa yang dibayarkan pada:
(a) Tanggal pembayaran reguler terakhir (Balloon payment di $t = 14$);
(b) Satu tahun setelah pembayaran reguler terakhir (Drop payment di $t = 15$);
(c) Selama tahun pembayaran reguler terakhir (di waktu eksak $t = 14{,}2067$).
Pinjaman sebesar USD 1.000 harus dilunasi dengan pembayaran tahunan sebesar USD 100 yang dimulai pada akhir tahun kelima ($t = 5$) dan dilanjutkan setelahnya selama diperlukan. Tentukan waktu dan besar pembayaran akhir jika pembayaran akhir tersebut merupakan balloon payment. Asumsikan $i = 4{,}5\%$.
Tentukanlah nilai tingkat bunga nominal convertible quarterly agar nilai sekarang dari USD 1.000 yang dibayarkan di akhir setiap kuartal selama 5 tahun ($20$ kuartal) adalah sebesar USD 16.000.
Nilai sekarang dari 3 jenis anuitas berikut diketahui bernilai sama:
(a) Perpetuitas biasa yang membayar 1 setiap tahun pada bunga efektif $7{,}25\%$.
(b) Anuitas biasa 50 tahun yang membayar 1 setiap tahun pada bunga efektif $j\%$.
(c) Anuitas biasa $n$ tahun yang membayar 1 setiap tahun pada bunga efektif $(j-1)\%$.
Tentukanlah nilai $n$.
Tentukanlah nilai akumulasi dari anuitas biasa berjangka waktu 10 tahun dengan pembayaran sebesar USD 100 setiap tahun apabila tingkat bunga efektifnya sebesar $5\%$ selama 6 tahun pertama dan $4\%$ selama 4 tahun berikutnya.
Pinjaman sebesar $P$ harus dilunasi dengan 10 pembayaran tahunan yang dimulai 6 bulan sejak tanggal pinjaman. Pembayaran pertama adalah sebesar setengah dari pembayaran yang lain ($X$ di $t = 0{,}5$ dan $2X$ di $t = 1{,}5, 2{,}5, \dots, 9{,}5$). Untuk 4,5 tahun pertama tingkat bunga efektif adalah $i$ dan sisanya berlaku tingkat bunga efektif $j$. Tentukanlah ekspresi untuk menentukan besar pembayaran pertama $X$.
Anuitas Umum (Bagian 1): Frekuensi Pembayaran Lebih Kecil dari Konversi Bunga
Membuka Blok Pasca-UTS di FMIPA UI. Membedah tuntas kondisi dunia nyata di mana interval pembayaran anuitas tidak bertepatan dengan periode kapitalisasi bunga. Pada Bagian 1, kita meneliti kasus di mana pembayaran dilakukan lebih jarang daripada pemajemukan bunga ($k$ periode konversi bunga dalam 1 kali pembayaran anuitas).
Materi Pekan 9 s.d. 15 adalah domain pengujian Kuis 3, Kuis 4, dan Ujian Akhir Semester (UAS Bobot 30%). Topik Anuitas Umum adalah gerbang utama soal-soal tingkat lanjut PAI A10 / SOA FM.
Perbedaan Frekuensi Pembayaran vs Periode Bunga
Slide 3–8: Dua Paradigma Pemecahan Masalah di FMIPA UI
Pada anuitas dasar (Pekan 6–7), frekuensi pembayaran anuitas sama persis dengan frekuensi pemajemukan bunga (misal: pembayaran tahunan dengan bunga efektif tahunan $i$). Namun dalam praktik keuangan:
Ubah tingkat bunga nominal/konversi menjadi tingkat bunga efektif per periode pembayaran ($j_{pay}$). Setelah $j_{pay}$ didapat, gunakan rumus anuitas dasar biasa: $$j = \left(1 + \frac{i^{(m)}}{m}\right)^{m/p} - 1$$ di mana $p$ adalah frekuensi pembayaran per tahun, dan $m$ adalah frekuensi konversi bunga per tahun.
Pertahankan periode bunga sebagai unit waktu dasar. Definisikan $k$ sebagai banyak periode konversi bunga dalam 1 periode pembayaran anuitas, dan $n$ sebagai total periode konversi bunga: $$\text{Present Value} = \frac{a_{\overline{n}|j}}{s_{\overline{k}|j}} \quad \text{atau} \quad \frac{a_{\overline{n}|j}}{a_{\overline{k}|j}}$$
Derivasi Aljabar Anuitas Biasa, Dimuka, dan Perpetuitas
Slide 13–34: Pembuktian Sempurna Sesuai Notasi Dosen
Pembayaran sebesar $1$ dilakukan di akhir setiap $k$ periode konversi bunga, dengan total jangka waktu pembayaran adalah $n/k$ kali pembayaran (sehingga mencakup $n$ periode konversi bunga):
Interpretasi Finansial Dosen: Pembayaran 1 unit di akhir setiap $k$ periode setara dengan pembayaran cicilan $R$ sebanyak $k$ kali di setiap periode bunga sedemikian sehingga $R \cdot s_{\overline{k}|j} = 1 \iff R = \frac{1}{s_{\overline{k}|j}}$. Maka $PV = R \cdot a_{\overline{n}|j} = \frac{a_{\overline{n}|j}}{s_{\overline{k}|j}}$.
Pembayaran sebesar $1$ dilakukan di awal setiap $k$ periode konversi bunga:
Interpretasi Finansial: Pembayaran 1 unit di awal setiap $k$ periode setara dengan cicilan $R$ di setiap awal periode bunga sedemikian sehingga $R \cdot a_{\overline{k}|j} = 1 \iff R = \frac{1}{a_{\overline{k}|j}}$.
Bedah Soal Asli Slide Dosen (Contoh 1 s.d. 6)
Lengkap dengan Solusi Dua Pendekatan, Nilai Eksak & Analisis Jebakan
Contoh 1 Nilai Akumulasi Anuitas Pembayaran Tiap 2 Tahun (Pendekatan 1) ↓
Solusi Resmi Pendekatan 1 (Slide 9–10):
1. Menghitung suku bunga efektif per 2 tahun yang ekuivalen ($j$):
2. Analisis garis waktu: Terdapat 8 pembayaran per 2 tahun. Pembayaran pertama di $t=2$ tahun, pembayaran ke-8 di $t = 2 + 7 \times 2 = 16$ tahun. Pertanyaan meminta nilai akumulasi pada 18 tahun setelah pembayaran pertama, yaitu di waktu $t = 2 + 18 = 20$ tahun. Jarak dari pembayaran terakhir ($t=16$) ke $t=20$ adalah 4 tahun (= 2 periode 2-tahunan).
Contoh 2 Present Value Pembayaran Berubah Dua Fase (Awal Kuartal) ↓
Solusi Resmi (Slide 11–12):
1. Tingkat bunga efektif per kuartal yang ekuivalen:
2. Model Anuitas Dimuka 40 Kuartal:
Contoh 3 Penyelesaian Contoh 1 dengan Pendekatan 2 ($k$-Periode) ↓
Solusi Resmi (Slide 19–20):
Karena bunga dikonversi setiap semester ($i^{(2)} = 7\%$), maka $j = 0{,}07/2 = 0{,}035$.
Pembayaran dilakukan setiap 2 tahun = 4 semester, maka $k = 4$. Jumlah pembayaran $n/k = 8 \implies n = 32$ semester.
Akumulasi pada 4 tahun (= 8 semester) setelah pembayaran terakhir:
Hasil identik 100% dengan Pendekatan 1! Mahasiswa bebas memilih pendekatan ternyaman saat ujian.
Contoh 4 Nilai Akumulasi Deposito Berjenjang di Awal Kuartal ↓
Solusi Resmi Dua Cara (Slide 28):
Bunga per bulan: $j = 0{,}12/12 = 0{,}01$. Tiap kuartal ada 3 bulan, maka $k = 3$. Total periode konversi $n = 4 \times 12 = 48$ bulan.
Cara 1 (Superposisi):
Cara 2 (Fase Terpisah):
Contoh 5 Formulasi Simbolik Nilai Sekarang Tertunda (Deferred PV) ↓
Solusi Resmi (Slide 30):
Parameter: $k = 4$ bulan. Pembayaran selama 12 tahun = 144 bulan = 36 pembayaran.
Jika pembayaran pertama di $t = 36$ bulan (3 tahun dari titik valuasi):
a. Sebagai Anuitas Biasa:
b. Sebagai Anuitas Dimuka:
Contoh 6 Perpetuitas Setiap 3 Tahun Sekali (Menentukan Suku Bunga) ↓
Solusi Resmi (Slide 35–36):
Karena pembayaran tiap 3 tahun, maka $k = 3$.
Substitusikan nilai $PV_0 = 125/91$:
Kalkulator Interaktif Anuitas Umum ($k$-Periode)
Hitung Otomatis Nilai Sekarang & Nilai Akumulasi Bebas Galat
Anuitas Umum (Bagian 2): Frekuensi Pembayaran Lebih Sering & Anuitas Kontinu
Melanjutkan studi mendalam anuitas umum di FMIPA UI. Menjelajahi kasus di mana frekuensi pembayaran lebih besar dari frekuensi pemajemukan bunga ($m$ kali pembayaran per periode konversi bunga: $a_{\overline{n}|}^{(m)}$, $\ddot{a}_{\overline{n}|}^{(m)}$) hingga batas ekstrem limit kontinu ketika pembayaran mengalir tanpa henti ($\bar{a}_{\overline{n}|}, \bar{s}_{\overline{n}|}$).
Anuitas Dibayar $m$ Kali per Periode Bunga
Slide 3–28: Notasi Formal $a_{\overline{n}|}^{(m)}$, $\ddot{a}_{\overline{n}|}^{(m)}$, dan Perpetuitas
Misalkan jangka waktu pinjaman/investasi adalah $n$ periode bunga. Dalam setiap periode bunga, dilakukan pembayaran sebanyak $m$ kali, masing-masing sebesar $1/m$, sehingga total pembayaran per periode bunga adalah 1 unit.
Pembayaran sebesar $1/m$ terjadi di akhir setiap interval $1/m$:
Catatan: $j^{(m)} = m[(1+j)^{1/m} - 1]$ adalah suku bunga nominal per periode bunga terkonversi $m$-kali.
Pembayaran sebesar $1/m$ terjadi di awal setiap interval $1/m$:
Catatan: $d_j^{(m)} = m[1 - (1+j)^{-1/m}]$ adalah suku diskonto nominal per periode bunga terkonversi $m$-kali.
Anuitas Kontinu ($\bar{a}_{\overline{n}|}, \bar{s}_{\overline{n}|}$)
Slide 29–35: Aliran Dana Konstan Sepanjang Garis Waktu
Ketika frekuensi pembayaran mendekati tak hingga ($m \to \infty$), pembayaran mengalir secara berkesinambungan dengan laju (rate) 1 unit per periode konversi bunga. Pembayaran sebesar $dt$ terjadi pada waktu $t$:
Hubungan: $\bar{a}_{\overline{n}|} = \frac{j}{\delta} a_{\overline{n}|} = \frac{d}{\delta} \ddot{a}_{\overline{n}|}$
Hubungan: $\bar{s}_{\overline{n}|} = \frac{j}{\delta} s_{\overline{n}|} = \frac{d}{\delta} \ddot{s}_{\overline{n}|}$
Nilai sekarang dana abadi dengan pengeluaran tunai kontinu per satuan waktu.
Bedah Soal Asli Slide Dosen (Contoh 1 s.d. 6)
Lengkap dengan Solusi Resminya, Variasi Non-Bulat & Penarikan Kontinu
Contoh 1 Akumulasi Deposito Kuartalan dengan Bunga Efektif Tahunan ↓
Solusi Resmi (Slide 10):
Besar pembayaran per kuartal adalah USD 200, maka jumlah total pembayaran selama 1 periode bunga (1 tahun) adalah $4 \times 200 = \text{USD } 800$. Di sini $m = 4$ dan $n = 8$ tahun pada $i = 4\%$.
Contoh 2 Cicilan Pinjaman Kuartalan dengan Bunga Konversi Semi-Annually ↓
Solusi Resmi (Slide 11–12):
1. Periode bunga adalah per semester (setengah tahun), dengan suku bunga $j = 0{,}10 / 2 = 0{,}05$.
2. Jangka waktu pinjaman 5 tahun = 10 semester ($n = 10$). Dalam 1 semester terdapat 2 kuartal ($m = 2$).
3. Total pembayaran dalam 1 semester adalah $2R$. Persamaan nilai di $t=0$:
Contoh 3 Present Value Pembayaran Dimuka Kuartalan Dua Fase ↓
Solusi Resmi (Slide 21–22):
Total per tahun: USD 2.400 selama 10 tahun, dikurangi penyesuaian USD 800 per tahun selama 5 tahun pertama.
Contoh 4 Perpetuitas Semesteran Dimuka Bernilai USD 10 ↓
Solusi Resmi (Slide 26):
Total pembayaran per tahun adalah USD 2 dengan frekuensi $m = 2$.
Contoh 5 Kasus Frekuensi Non-Bulat (Pembayaran Tiap 3 Bulan, Periode Bunga 4 Bulan) ↓
Solusi Resmi (Slide 28):
Unit waktu: periode 4 bulan. Total waktu 12 tahun = 36 periode 4-bulanan. Pembayaran terjadi tiap 3 bulan = $3/4$ dari 1 periode bunga. Banyak pembayaran adalah $12 \times 4 = 48$ kali.
Catatan Dosen: Jika $m$ bukan bilangan bulat, gunakan deret geometri langsung dari prinsip pertama!
Contoh 6 Penarikan Dana Kontinu (Waktu Bertahan Dana) ↓
Solusi Resmi (Slide 35):
Kalkulator Interaktif $a_{\overline{n}|}^{(m)}$ & Anuitas Kontinu $\bar{a}_{\overline{n}|}$
Bandingkan Nilai Sekarang Discrete vs m-thly vs Continuous Limit
Anuitas Bervariasi: Deret Aritmatika $(Ia, Da)$ & Deret Geometri
Materi dengan bobot analitis tertinggi dalam topik anuitas. Membedah anuitas dengan pola pembayaran yang tidak konstan, baik yang berubah secara linier bertahap menurut deret aritmatika ($P$ dan $Q$, $(Ia)_{\overline{n}|}, (Da)_{\overline{n}|}$), perpetuitas bertingkat, maupun yang bertumbuh secara eksponensial menurut inflasi/deret geometris dengan rasio $(1+k)$.
Anuitas Deret Aritmatika Umum (Formula $P-Q$)
Slide 3–16: Pembayaran Pertama $P$, Perubahan Konstan $Q$ per Periode
Jika pembayaran pertama adalah $P$ dan setiap pembayaran berikutnya bertambah sebesar $Q$ (jika berkurang, $Q < 0$), maka deretan pembayarannya adalah $P, P+Q, P+2Q, \dots, P+(n-1)Q$:
Komponen $P$ membentuk anuitas datar, sedangkan komponen $Q$ merupakan anuitas bertambah.
Penyebut pada komponen $Q$ berubah dari $i$ menjadi $d = iv$.
Pembayaran $1, 2, 3, \dots, n$ ($P=1, Q=1$):
Pembayaran $n, n-1, \dots, 1$ ($P=n, Q=-1$):
Pembayaran $1, 2, 3, \dots$ selamanya ($n \to \infty$):
Anuitas Deret Geometris (Geometric Annuity)
Slide 30–40: Rasio Pertumbuhan Konstan $(1+k)$ per Periode
Pembayaran pertama sebesar 1, dan setiap pembayaran berikutnya bertumbuh dengan laju $k$ per periode, sehingga barisan pembayarannya adalah $1, (1+k), (1+k)^2, \dots, (1+k)^{n-1}$:
Catatan Praktis: Dapat dipandang sebagai anuitas dasar dengan suku bunga ekuivalen $j^* = \frac{i-k}{1+k}$, yaitu $PV_0 = \frac{a_{\overline{n}|j^*}}{1+k}$.
Rumus Gordon Growth Model dalam valuasi saham berasal langsung dari perpetuitas geometris ini!
Bedah Soal Asli Slide Dosen (Contoh 1 s.d. 7)
Lengkap dengan Solusi Pembuktian Simbolik & Perhitungan Numerik Eksak
Contoh 1 Anuitas Segitiga Simetris: Naik ke $n$ lalu Turun ke 1 ↓
Solusi Resmi Pembuktian (Slide 18):
Identitas Klasik Aktuaria: Nilai sekarang anuitas piramida simetris sama dengan $a_{\overline{n}|} \ddot{a}_{\overline{n}|}$!
Contoh 2 Anuitas Naik 1 s.d. 10 Lalu Konstan 10 hingga 25 Pembayaran ↓
Tiga Alternatif Persamaan Nilai Resmi Dosen (Slide 19):
Contoh 3 Perencanaan Dana Ulang Tahun Susan (Deret Aritmatika $P=2000, Q=500$) ↓
Solusi Resmi (Slide 21):
Jumlah pembayaran: dari umur 19 ke 35 = $35 - 19 + 1 = 17$ pembayaran. Di sini $P = 2.000$, $Q = 500$, $n = 17$, $i = 0{,}042$.
Contoh 4 Anuitas Menurun Semi-Tahunan 800, 750, ..., 350 ↓
Solusi Resmi (Slide 25–27):
Bunga efektif per semester $j = 0{,}16 / 2 = 0{,}08$. Barisan pembayaran: $800 - 50(t-1)$ untuk $t = 1, \dots, 10$ ($n = 10$).
Dapat dipandang sebagai $50 \times (16, 15, \dots, 7) = 50 \times [6 \cdot a_{\overline{10}|} + (Da)_{\overline{10}|}]$ atau $P=800, Q=-50$:
Contoh 5 Rasio Perpetuitas Konstan $X$ vs Perpetuitas Bertambah $20X$ ↓
Solusi Resmi (Slide 28–29):
Contoh 6 Yield Rate Perpetuitas Bertumbuh Geometris ↓
Solusi Resmi (Slide 41–42):
Persamaan Nilai: $PV_{\text{in}} = PV_{\text{out}}$ pada suku bunga $i$:
Contoh 7 Anuitas Gabungan Aritmatika & Geometris 2-Rezim Bunga ↓
Solusi Resmi (Slide 44–46):
1. Fase 1 (Tahun 1–10 pada $i_1 = 7\%$):
2. Fase 2 (Tahun 11–20 pada $i_2 = 5\%$ dan rasio $k = 5\%$):
3. Persamaan Total di $t=0$:
Kalkulator Interaktif $(Ia)_{\overline{n}|}$ & Anuitas Geometris
Kalkulasi Otomatis Nilai Sekarang dengan Parameter Bebas
Anuitas Bervariasi Umum & Anuitas Kontinu Bervariasi $(\bar{I}\bar{a}, \bar{D}\bar{a})$
Puncak teori anuitas di FMIPA UI. Menyatukan variasi pembayaran tidak konstan dengan frekuensi majemuk berbeda ($m$-thly increasing: $(I^{(m)}a)^{(m)}$) dan mengintegrasikan kalkulus aktuaria untuk arus kas kontinu linier $f(t) = at + b$, menghasilkan rumus fundamental $(\bar{I}\bar{a})_{\overline{n}|} = \frac{\bar{a}_{\overline{n}|} - n v^n}{\delta}$.
Anuitas Bervariasi dengan Frekuensi Majemuk Berbeda
Slide 3–18: Kasus $k$-Periode Bertingkat & $m$-thly Increasing Annuity
Pembayaran konstan selama 1 periode konversi bunga (sebesar $t/m$ per pembayaran di periode ke-$t$), lalu naik pada periode bunga berikutnya:
Pembayaran bertambah pada setiap interval $1/m$ (sebesar $1/m^2, 2/m^2, \dots, nm/m^2$):
Kalkulus Anuitas Kontinu Bervariasi
Slide 31–33: Derivasi Formal $(\bar{I}\bar{a})_{\overline{n}|}$ dan $(\bar{D}\bar{a})_{\overline{n}|}$
Jika laju pembayaran pada waktu $t$ adalah $f(t)$ di bawah gaya bunga konstan $\delta$, maka present value diperoleh dari integral: $$PV_0 = \int_0^n f(t) e^{-\delta t} dt = \int_0^n f(t) v^t dt$$
Dengan $f(t) = t$, integral parsial menghasilkan:
Dengan $f(t) = n - t$:
Bedah Soal Asli Slide Dosen (Contoh 1 s.d. 5)
Lengkap dengan Solusi Step-by-Step, Pembuktian & Arus Kas Kontinu
Contoh 1 Anuitas Bertambah Setiap 2 Tahun: 1 di thn 2, 2 di thn 4, ..., 5 di thn 10 ↓
Solusi Resmi (Slide 20):
Unit waktu: periode 2 tahun. Bunga efektif per 2 tahun: $1 + j = (1{,}05)^2 = 1{,}1025 \implies j = 0{,}1025$.
Terdapat 5 kali pembayaran bertambah $1, 2, 3, 4, 5$. Maka:
Contoh 2 Deposito Scott Naik Tiap Tahun di Awal Kuartal & Perpetuitas ↓
Solusi Resmi (Slide 24–26):
1. Suku bunga per kuartal: $j = 0{,}10 / 4 = 0{,}025$. Bunga efektif per tahun: $i = (1{,}025)^4 - 1 \approx 0{,}103813$.
2. Dalam setiap tahun ada 4 deposit sebesar $t$. Nilai akumulasi dari 4 deposit di akhir tahun ke-$t$ adalah $t \cdot \ddot{s}_{\overline{4}|0{,}025}$.
3. Di akhir tahun ke-8 (yang tepat 1 kuartal setelah deposit terakhir), akumulasi total:
4. Membeli perpetuitas biasa tahunan $X$: $AV = \frac{X}{i} \implies X = AV \cdot i = 265{,}87 \times 0{,}103813 = \mathbf{27{,}60}$.
Contoh 3 Akumulasi Anuitas Kuartalan Menurun Geometris (95%) ↓
Solusi Resmi (Slide 28–29):
Bunga per semester $= 3\%$. Suku bunga per kuartal: $j = (1{,}03)^{0{,}5} - 1 \approx 0{,}014889$. Rasio pertumbuhan $1 + k = 0{,}95 \implies k = -0{,}05$.
Total pembayaran selama 4 tahun = 16 kuartal. Nilai sekarang di $t=0$:
Nilai akumulasi di akhir tahun ke-8 (setelah 32 kuartal):
Contoh 4 Arus Kas Kontinu Linier $f(t) = 8t + 5$ ↓
Solusi Resmi (Slide 35–36):
(a) Present Value di $t=0$:
(b) Nilai Akumulasi di $t=10$:
Contoh 5 Pembuktian Identitas Continuously Decreasing Annuity $(\bar{D}\bar{a})_{\overline{n}|}$ ↓
Solusi Pembuktian Lengkap (Slide 38):
Kalkulator Arus Kas Kontinu Linier $f(t) = at + b$
Hitung Eksak $\int_0^n (at+b)e^{-\delta t}dt$ Tanpa Error
Pelunasan Pinjaman (Bagian 1): Saldo Pinjaman Prospektif vs Retrospektif
Fondasi krusial analisis kredit dan manajemen liabilitas aktuaria di FMIPA UI. Mempelajari penentuan saldo pinjaman yang belum terbayar (Outstanding Loan Balance $B_t$) dengan dua perspektif fundamental: Metode Prospektif (melihat masa depan cicilan) dan Metode Retrospektif (melihat riwayat akumulasi masa lalu), restrukturisasi bunga, serta pelunasan dipercepat.
Metode Prospektif vs Retrospektif
Slide 6–13: Dua Sudut Pandang Menentukan Saldo Hutang $B_t$
Misalkan pinjaman sebesar $L = B_0$ dilunasi dengan $n$ kali cicilan berkala $R_1, R_2, \dots, R_n$ pada suku bunga efektif $i$. Saldo pinjaman $B_t$ sesaat setelah pembayaran ke-$t$ dihitung dengan:
Saldo adalah nilai sekarang dari seluruh sisa cicilan di masa depan yang belum dibayarkan:
Paling efisien jika sisa periode $(n-t)$ kecil dan cicilan masa depan teratur.
Saldo adalah akumulasi pinjaman awal dikurangi akumulasi cicilan yang sudah dibayar:
Paling efisien jika baru berjalan sedikit periode ($t$ kecil) atau terdapat perubahan di masa depan.
Bedah Soal Asli Slide Dosen (Contoh 1 s.d. 3)
Kasus Tunggakan Bunga, Refinancing Dua Tingkat Suku Bunga & Pembayaran Drop
Contoh 1 Pinjaman dengan Periode Menunggak (2 Tahun Tanpa Pembayaran) ↓
Solusi Resmi (Slide 15):
1. Saldo pinjaman di akhir tahun ke-10 (metode prospektif sisa 10 cicilan):
2. Selama 2 tahun berikutnya tidak ada cicilan yang masuk. Saldo pinjaman terus berakumulasi bunga pada tingkat $10\%$:
Contoh 2 Refinancing Kompleks 3 Tahap & Pembayaran Tambahan $X$ ↓
Solusi Resmi (Slide 17–18):
1. Sesaat setelah pembayaran ke-20, di bawah skema bunga $6\%$ ($j_2 = 1{,}5\%$), saldo prospektif yang seharusnya tersisa (sisa 20 kuartal) adalah:
2. Setelah membayar uang tambahan $X$, saldo baru $B_{20}^{new} = B_{20}^p - X$. Saldo baru ini dilunasi dengan cicilan 4.265,73 selama 20 kuartal pada bunga $j_3 = 7\% / 4 = 1{,}75\%$:
3. Maka besar uang ekstra $X$ adalah selisih kedua saldo:
Contoh 3 Pelunasan Dipercepat Megan: Cicilan Ganda & Drop Payment ↓
Solusi Resmi (Slide 19):
1. Cicilan bulanan reguler:
2. Saldo pinjaman di akhir bulan ke-24 (sisa 36 bulan reguler):
3. Megan membayar $2R = 2 \times 622{,}75 = 1.245{,}50$ mulai bulan ke-25. Mencari banyak cicilan ganda $k$:
4. Analisis Banyak Pembayaran:
Lalu melakukan 16 kali cicilan ganda sebesar $2R$.
Karena $k = 16{,}76$, terdapat 1 pembayaran drop terakhir pada bulan berikutnya.
Total Pembayaran = $24 + 16 + 1 = \mathbf{41\ \text{kali pembayaran}}$!
Kalkulator Saldo Pinjaman Interaktif
Bandingkan Langsung Hasil Metode Prospektif vs Retrospektif
Pelunasan Pinjaman (Bagian 2): Skedul Amortisasi & Metode Sinking Fund
Dua pilar utama akuntansi dan aktuaria keuangan dalam melunasi kewajiban jangka panjang. Membedah tuntas dekomposisi setiap cicilan menjadi porsi bunga $I_t$ dan porsi pelunasan pokok $P_t$, dinamika pertumbuhan geometris pokok $P_{t+1} = P_t(1+i)$, serta mekanisme Sinking Fund (dana pelunasan terpisah) dengan tingkat suku bunga ganda ($i$ vs $j$).
Struktur Matematika Skedul Amortisasi
Slide 3–17: Dekomposisi Cicilan $R = I_t + P_t$ dan Pertumbuhan Pokok Geometris
Pada setiap periode pembayaran $t$ ($t = 1, 2, \dots, n$), cicilan tetap $R = L / a_{\overline{n}|i}$ dipecah menjadi dua elemen:
Porsi bunga monoton menurun seiring mengecilnya saldo pokok pinjaman.
Porsi pokok monoton meningkat dengan rasio pengali tepat $(1+i)$!
Formula rekursif: $B_{t+1} = B_t(1+i) - R$.
Total pokok yang dilunasi antara periode $t_1$ sampai $t_2$ membentuk deret geometri dengan faktor pemajemuk $(1+i)$. Inilah kunci menyelesaikan soal-soal Kuis/UAS yang membandingkan pokok beberapa tahun pertama dan terakhir!
Mekanisme Sinking Fund & Teorema Kellison
Slide 18–34: Pembayaran Bunga Konstan $iL$ & Deposito Rekening Dana $D$
Pada metode ini, peminjam tidak mencicil pokok pinjaman ke pemberi pinjaman. Saldo hutang pokok tetap utuh sebesar $L$ sepanjang masa pinjaman. Peminjam membayar bunga periodik $i L$ kepada kreditur, dan secara bersamaan mendepositokan uang sebesar $D$ ke rekening sinking fund berbunga $j$:
Jika suku bunga sinking fund sama dengan bunga pinjaman ($j = i$), total cicilan Sinking Fund persis identik dengan cicilan Metode Amortisasi!
Bedah Soal Asli Slide Dosen (Contoh 1 s.d. 5)
Lengkap dengan Solusi Numerik Eksak, Pembuktian & Arbitrase Bunga
Contoh 1 Menghitung Pokok Pertama ($P_1$) dari Saldo $B_2$ dan $B_3$ ↓
Solusi Resmi (Slide 15):
1. Sisa pinjaman di akhir tahun ke-3 merupakan nilai sekarang dari 1 cicilan terakhir:
2. Pokok pinjaman pada cicilan pertama ($P_1$):
Contoh 2 Rasio Pokok 3 Tahun Pertama vs 3 Tahun Terakhir ↓
Solusi Resmi (Slide 16):
1. Perhatikan bahwa pokok 3 tahun terakhir adalah hasil pemajemukan pokok 3 tahun pertama selama 7 tahun:
2. Menghitung pokok pertama $P_1$ dan cicilan $R$:
3. Total bunga yang dibayar selama 10 tahun:
Contoh 3 Sinking Fund John Berbunga Tinggi (14% vs Bunga Pinjaman 10%) ↓
Solusi Resmi (Slide 35):
1. Bunga pinjaman tahunan: $0{,}10 \times 10.000 = 1.000$.
2. Besar deposito tahunan ke sinking fund: $D = 1.627{,}45 - 1.000 = 627{,}45$.
3. Nilai akumulasi dana sinking fund setelah 10 tahun pada suku bunga $14\%$:
4. Setelah pokok pinjaman 10.000 dilunasi, sisa keuntungan bersih John:
Contoh 4 Bunga Pinjaman Ditangguhkan & Deposito Tahunan Sinking Fund ↓
Solusi Resmi (Slide 36):
1. Total kewajiban yang harus dibayar di akhir tahun ke-10 (40 kuartal):
2. Suku bunga efektif tahunan sinking fund:
3. Deposito tahunan $D$ selama 10 tahun:
Contoh 5 Ekuivalensi Cicilan: Amortisasi Bank A vs Sinking Fund Bank B ↓
Solusi Resmi (Slide 37):
1. Cicilan bulanan di Bank A (Amortisasi, $j_A = 7\% / 12$):
2. Di Bank B, Kathy membayar bunga $i_B \times 50.000$ dan deposit ke Sinking Fund ($j_{SF} = 0{,}065 / 12$):
Generator Tabel Amortisasi Interaktif
Simulasikan Skedul Lengkap $t, R_t, I_t, P_t, B_t$ Baris demi Baris
| Periode ($t$) | Cicilan ($R_t$) | Bunga ($I_t$) | Pokok ($P_t$) | Sisa Saldo ($B_t$) |
|---|
Pelunasan Pinjaman (Bagian 3): Cicilan Bervariasi & Amortisasi Negatif
Materi pamungkas penutup seluruh semester Matematika Keuangan 1 di FMIPA UI. Menjelajahi dinamika pinjaman ketika cicilan tidak lagi bernilai konstan, fenomena kritis Amortisasi Negatif ($P_t < 0$ ketika cicilan lebih kecil dari bunga terutang), serta integrasi analitis metode sinking fund dengan suku bunga pinjaman dan tabungan yang berbeda ($i \neq j$).
Pekan 15 adalah materi kuliah terakhir dalam silabus SCAC602020. Ujian Akhir Semester (UAS Bobot 30%) menguji penguasaan komprehensif anuitas umum (Pekan 9–12) dan pelunasan pinjaman (Pekan 13–15).
Amortisasi Cicilan Bervariasi & Amortisasi Negatif
Slide 3–9: Cicilan Mengikuti Pola Aritmatika/Geometris & Jebakan $P_t < 0$
Ketika cicilan pinjaman $R_t$ tidak konstan, nilai pinjaman awal adalah jumlahan diskonto dari seluruh cicilan: $$L = B_0 = \sum_{t=1}^n R_t v^t$$
Jika pada suatu periode cicilan yang dibayarkan lebih kecil dari bunga aktual yang jatuh tempo ($R_t < I_t = i \cdot B_{t-1}$), maka porsi pokok pinjaman bernilai negatif: $$P_t = R_t - I_t < 0$$ Akibatnya, saldo pinjaman tidak berkurang melainkan justru meningkat: $B_t = B_{t-1} - P_t > B_{t-1}$. Mahasiswa sering menganggap jawaban salah jika menemukan nilai negatif pada pokok; padahal secara aktuaria, ini adalah kondisi matematis yang sah!
Sinking Fund dengan Pembayaran Bervariasi ($i \neq j$)
Slide 10–12: Bunga Kreditur Tetap Konstan $iL$, Deposito Sinking Fund Bervariasi
Asumsi baku Departemen Matematika FMIPA UI: Pembayaran bunga kepada kreditur tetap konstan sebesar $i L$, sehingga seluruh fluktuasi cicilan diserap oleh deposito tabungan sinking fund ($D_t = R_t - i L$).
Catatan Ujian: Jika tingkat suku bunga tabungan sinking fund sama dengan bunga pinjaman ($j = i$), penyebut bernilai $1 + 0 = 1$, sehingga $L = \sum R_t v^t$, kembali ekuivalen persis dengan metode amortisasi biasa!
Bedah Soal Asli Slide Dosen (Contoh 1 s.d. 3)
Lengkap dengan Solusi Numerik Eksak & Amortisasi Negatif
Contoh 1 Cicilan Menurun Aritmatika 200, 190, ..., 110 & Komponen Periode ke-5 ↓
Solusi Resmi (Slide 8):
(a) Besar Pinjaman Awal $L$ ($P=200, Q=-10, n=10, i=0{,}05$):
(b) Bunga dan Pokok pada Tahun ke-5:
Hitung saldo $B_4$ secara prospektif (sisa 6 cicilan: $160, 150, 140, 130, 120, 110$ dengan $P=160, Q=-10$):
Komponen cicilan ke-5 ($R_5 = 160$):
Contoh 2 Fenomena Amortisasi Negatif ($P_5 = -31{,}45$) ↓
Solusi Resmi (Slide 9):
1. Persamaan nilai di $t=0$:
2. Saldo pinjaman di akhir tahun ke-4 (metode retrospektif):
3. Porsi bunga di tahun ke-5:
4. Porsi pokok di tahun ke-5 (Amortisasi Negatif):
Contoh 3 Sinking Fund Bervariasi dengan Bunga Berbeda ($i = 6\%, j = 5\%$) ↓
Solusi Resmi (Slide 13):
1. Menghitung nilai sekarang deretan cicilan pada suku bunga sinking fund ($j = 5\%$):
2. Menghitung faktor penyebut penyesuaian arbitrase suku bunga:
3. Besar Pinjaman Awal $L$:
Kalkulator Interaktif Sinking Fund Dual-Bunga ($i$ vs $j$)
Hitung Pinjaman $L$ Bebas Galat untuk Kombinasi Suku Bunga Berbeda
Pusat Persiapan Ujian: Kuis 1–4, UTS (30%) & UAS (30%)
Portal drill latihan ujian berskala militer untuk mahasiswa Aktuaria UI. Dilengkapi soal-soal autentik dari arsip ujian masa lalu Departemen Matematika FMIPA UI (era Dr. Maulana Malik, Sindy Devila, M.Si., dan tim pengajar), lengkap dengan pembahasan langkah-demi-langkah, kunci jawaban resmi, dan simulator penilaian instan.
Kuis 1: Pengukuran Bunga, Diskonto & Gaya Bunga
Cakupan: Pekan 1 s.d. Pekan 3 • Waktu Standar: 100 Menit
Pada tingkat diskonto sederhana sebesar $d$ per tahun, diketahui bahwa uang senilai USD 100 yang diinvestasikan pada waktu $t=0$ akan berakumulasi menjadi USD 200 setelah 10 tahun. Pada tingkat diskonto sederhana yang sama, tentukanlah total nilai sekarang (waktu $t=0$) dari pembayaran sebesar USD 75 di tahun ke-3 dan USD 125 di tahun ke-5.
Akumulasi diskonto sederhana: $200 = \frac{100}{1 - 10d} \implies 1 - 10d = 0{,}5 \implies d = 0{,}05$.
Nilai sekarang pada waktu 0:
$$PV = 75(1 - 3d) + 125(1 - 5d) = 75(1 - 0{,}15) + 125(1 - 0{,}25) = 75(0{,}85) + 125(0{,}75) = 63{,}75 + 93{,}75 = \mathbf{USD\ 157{,}5}$$
Mira memutuskan untuk berinvestasi pada bank yang menawarkan bunga sederhana $10\%$ per tahun. Uang yang diinvestasikan sebesar $X$ saat ini berakumulasi menjadi USD 1.500 setelah 5 tahun. Tentukan tingkat bunga nominal tahunan $i^{(2)}$ (dibayar semesteran) yang setara untuk investasi Mira.
Bunga sederhana: $1500 = X(1 + 0{,}1 \times 5) = 1{,}5 X \implies X = 1000$.
Suku bunga nominal semesteran: $1500 = 1000 \left(1 + \frac{i^{(2)}}{2}\right)^{10} \implies 1 + \frac{i^{(2)}}{2} = (1{,}5)^{0{,}1} \approx 1{,}041379$.
$$i^{(2)} = 2 \times 0{,}041379 = \mathbf{8{,}2758\%} \quad \text{(Pilihan B: 8,25\% - 8,50\%)}$$
Ani dapat menerima salah satu dari dua skema pembayaran berikut:
1. USD 100 pada waktu 0, USD 200 pada waktu $n$, dan USD 300 pada waktu $2n$.
2. USD 600 pada waktu 10.
Pada tingkat bunga efektif tahunan $i$, nilai sekarang kedua skema tersebut sama persis. Diketahui $v^n = 0{,}75941$. Hitunglah nilai suku bunga efektif tahunan $i$!
1. Nilai sekarang skema 1:
$$PV_1 = 100 + 200 v^n + 300 (v^n)^2$$ Substitusi $v^n = 0{,}75941$:
$$PV_1 = 100 + 200(0{,}75941) + 300(0{,}75941)^2 = 100 + 151{,}882 + 173{,}011 = 424{,}893$$
2. Nilai sekarang skema 2:
$$PV_2 = 600 v^{10}$$
3. Persamaan Nilai ($PV_1 = PV_2$):
$$424{,}893 = 600 v^{10} \implies v^{10} = \frac{424{,}893}{600} \approx 0{,}708155$$ $$v = (0{,}708155)^{1/10} \approx 0{,}965003$$ $$i = \frac{1}{v} - 1 = \frac{1}{0{,}965003} - 1 = 0{,}036266 = \mathbf{3{,}63\%}$$
Kuis 2: Persamaan Nilai & Dollar-Weighted vs Time-Weighted
Cakupan: Pekan 4 s.d. Pekan 5 • Standar PAI A10
Diberikan $\bar{s}_{\overline{20}|} = 3 \bar{s}_{\overline{10}|}$. Tentukanlah nilai dari $\bar{a}_{\overline{5}|}$!
$$\bar{s}_{\overline{20}|} = 3 \bar{s}_{\overline{10}|} \iff \frac{e^{20\delta} - 1}{\delta} = 3 \frac{e^{10\delta} - 1}{\delta}$$ $$e^{20\delta} - 1 = 3(e^{10\delta} - 1) \implies (e^{10\delta} - 1)(e^{10\delta} + 1) = 3(e^{10\delta} - 1)$$ Karena $\delta > 0$, maka $e^{10\delta} - 1 \neq 0$, kita bagi kedua ruas:
$$e^{10\delta} + 1 = 3 \implies e^{10\delta} = 2 \implies e^{5\delta} = \sqrt{2}$$ Maka $\delta = \frac{\ln 2}{10} \approx 0{,}069315$.
$$\bar{a}_{\overline{5}|} = \frac{1 - e^{-5\delta}}{\delta} = \frac{1 - 1/\sqrt{2}}{\frac{\ln 2}{10}} = \frac{1 - 0{,}707107}{0{,}069315} = \mathbf{4{,}2255}$$
Pada 1 Januari, saldo dana investasi adalah USD 100.000. Pada 1 Mei, nilai portofolio menjadi USD 112.000, lalu nasabah menyetor USD 30.000. Pada 1 November, nilai portofolio menjadi USD 135.000, lalu nasabah menarik USD 20.000. Pada 31 Desember, saldo akhir adalah USD 125.000. Hitunglah suku bunga hasil investasi dengan metode Dollar-Weighted ($i_{DW}$) dan Time-Weighted ($i_{TW}$)!
Total bunga: $I = B - A - C = 125.000 - 100.000 - (30.000 - 20.000) = 15.000$.
Bobot waktu paparan dana (fraksi tahun):
Setoran 1 Mei (berjalan 8 bulan = $8/12$ thn), Penarikan 1 Nov (berjalan 2 bulan = $2/12$ thn).
$$\text{Paparan Rata-rata} = 100.000 + 30.000\left(\frac{8}{12}\right) - 20.000\left(\frac{2}{12}\right) = 100.000 + 20.000 - 3.333{,}33 = 116.666{,}67$$ $$i_{DW} = \frac{15.000}{116.666{,}67} = \mathbf{12{,}86\%}$$
2. Time-Weighted Return ($i_{TW}$):
Sub-periode 1 (1 Jan - 1 Mei): $1 + r_1 = \frac{112.000}{100.000} = 1{,}12$.
Saldo baru 1 Mei = $112.000 + 30.000 = 142.000$.
Sub-periode 2 (1 Mei - 1 Nov): $1 + r_2 = \frac{135.000}{142.000} \approx 0{,}950704$.
Saldo baru 1 Nov = $135.000 - 20.000 = 115.000$.
Sub-periode 3 (1 Nov - 31 Des): $1 + r_3 = \frac{125.000}{115.000} \approx 1{,}086957$.
$$1 + i_{TW} = (1{,}12) \times (0{,}950704) \times (1{,}086957) = 1{,}157388 \implies \mathbf{i_{TW} = 15{,}74\%}$$
Ujian Tengah Semester (UTS): Pekan 1 s.d. Pekan 7
Standar Resmi FMIPA UI • Waktu: 120 Menit • Rujukan Soal: UTS 2021 M. Malik / UTS 2023 / UTS 2024
Nilai sekarang dari suatu perpetuitas biasa di mana pembayarannya sebesar $P$ adalah 500 kurangnya dari nilai sekarang dari perpetuitas dimuka yang pembayarannya juga sebesar $P$. Tentukanlah besar pembayaran $P$!
$$P \cdot a_{\overline{\infty}|} = P \cdot \ddot{a}_{\overline{\infty}|} - 500$$ $$P \cdot a_{\overline{\infty}|} = P(1 + a_{\overline{\infty}|}) - 500 = P + P \cdot a_{\overline{\infty}|} - 500$$ $$0 = P - 500 \implies \mathbf{P = 500} \quad \blacksquare$$
Misalkan $A(t) = a t^2 + b t + c$ untuk $0 \le t \le 2$. Diketahui $A(0) = 100$, $A(1) = 110$, dan $A(2) = 136$. Tentukan besar gaya bunga pada waktu $t = 1/2$, yaitu $\delta_{1/2}$!
1. $A(0) = c = 100$.
2. $A(1) = a + b + 100 = 110 \implies a + b = 10 \implies b = 10 - a$.
3. $A(2) = 4a + 2(10 - a) + 100 = 136 \implies 2a + 120 = 136 \implies 2a = 16 \implies a = 8$. Maka $b = 2$.
Fungsi saldo: $A(t) = 8t^2 + 2t + 100$. Turunannya: $A'(t) = 16t + 2$.
$$\delta_{1/2} = \frac{A'(1/2)}{A(1/2)} = \frac{16(0{,}5) + 2}{8(0{,}25) + 2(0{,}5) + 100} = \frac{8 + 2}{2 + 1 + 100} = \mathbf{\frac{10}{103} \approx 0{,}097087 \text{ atau } 9{,}71\%}$$
Rosa memperoleh warisan USD 12.000 dan membeli 2 anuitas berbeda seharga masing-masing USD 6.000:
- Anuitas 1: Anuitas biasa 20 tahun yang membayar USD 600 per tahun.
- Anuitas 2: Anuitas biasa 10 tahun yang membayar $X$ per tahun.
Jika kedua anuitas tersebut menghasilkan suku bunga efektif tahunan yang sama besar $i$, tentukanlah nilai pembayaran tahunan $X$!
Anuitas 1: $6.000 = 600 \cdot a_{\overline{20}|i} \implies a_{\overline{20}|i} = 10 \implies \frac{1 - v^{20}}{i} = 10$.
Anuitas 2: $6.000 = X \cdot a_{\overline{10}|i} \implies X = \frac{6.000}{a_{\overline{10}|i}}$.
Ingat identitas pemfaktoran aktuaria:
$$a_{\overline{20}|} = a_{\overline{10}|} (1 + v^{10}) \implies 10 = a_{\overline{10}|} (1 + v^{10})$$ Juga diketahui $a_{\overline{10}|} = \frac{1 - v^{10}}{i}$, sehingga $v^{10} = 1 - i \cdot a_{\overline{10}|}$.
Dari persamaan $a_{\overline{20}|i} = 10$, suku bunga efektif numerik adalah $i \approx 7{,}755\%$.
$$a_{\overline{10}|0{,}07755} = 6{,}8109 \implies X = \frac{6.000}{6{,}8109} = \mathbf{USD\ 880{,}94}$$
Kuis 3: Anuitas Umum, Anuitas Kontinu & Bervariasi
Cakupan: Pekan 9 s.d. Pekan 11 • Rujukan: Soal Asli Kuis 3 2024 & 2021
Julie mendepositokan uang ke dalam suatu rekening dengan skema pembayaran bertambah: USD 100 di akhir bulan ke-1, USD 200 di akhir bulan ke-2, ..., hingga USD 1.200 di akhir bulan ke-12. Suku bunga nominal tahunan adalah $12\%$ dikonversi bulanan. Tentukan nilai akumulasi rekening tersebut tepat setelah deposit ke-12!
Suku bunga per bulan: $j = 0{,}12 / 12 = 0{,}01$. Terdapat $n=12$ pembayaran dengan $P = 100, Q = 100$.
$$AV = 100 \cdot (Is)_{\overline{12}|0{,}01} = 100 \cdot \left[ \frac{\ddot{s}_{\overline{12}|0{,}01} - 12}{0{,}01} \right]$$ $$s_{\overline{12}|0{,}01} = \frac{(1{,}01)^{12} - 1}{0{,}01} = 12{,}6825 \implies \ddot{s}_{\overline{12}|0{,}01} = 1{,}01 \times 12{,}6825 = 12{,}8093$$ $$AV = 100 \cdot \left[ \frac{12{,}8093 - 12}{0{,}01} \right] = 100 \times 80{,}93 = \mathbf{USD\ 8.093{,}28}$$
Kuis 4: Saldo Pinjaman, Skedul Amortisasi & Sinking Fund
Cakupan: Pekan 12 s.d. Pekan 14
Suatu pinjaman dilunasi dengan 20 kali cicilan tahunan yang sama besar di setiap akhir tahun pada suku bunga efektif tahunan $6\%$. Diketahui bahwa porsi bunga pada cicilan ke-8 adalah USD 420. Tentukanlah porsi pokok pinjaman yang dibayarkan pada cicilan ke-15 ($P_{15}$)!
1. Porsi bunga ke-8: $I_8 = R(1 - v^{20-8+1}) = R(1 - v^{13}) = 420$.
Pada $i = 6\%$, $v^{13} = (1{,}06)^{-13} \approx 0{,}468839$.
$$R(1 - 0{,}468839) = 420 \implies R(0{,}531161) = 420 \implies R = \frac{420}{0{,}531161} \approx 790{,}72$$ 2. Porsi pokok pinjaman ke-15:
$$P_{15} = R \cdot v^{20-15+1} = R \cdot v^6 = 790{,}72 \times (1{,}06)^{-6} = 790{,}72 \times 0{,}704961 = \mathbf{USD\ 557{,}43}$$
UAS Matematika Keuangan 1: Pekan 9 s.d. Pekan 15
Standar Resmi FMIPA UI • Waktu: 120 Menit • Rujukan Soal: UAS 2025 / UAS 2023 / UAS 2021
Suatu pinjaman $L$ dilunasi dengan 16 kali pembayaran tahunan:
- Pembayaran ke-1: USD 2.000 di akhir tahun 1.
- Pembayaran ke-2 sampai ke-8: meningkat $3\%$ per tahun.
- Pembayaran ke-9 sampai ke-16: menurun $3\%$ per tahun.
Tingkat bunga efektif tahunan diketahui $i = 7\%$. Tentukan besar pinjaman awal $L$!
1. Bagian 1 (Tahun 1–8): $P_k = 2000(1{,}03)^{k-1}$.
$$PV_1 = 2000 v \left[ \frac{1 - (1{,}03 v)^8}{1 - 1{,}03 v} \right]$$ Dengan $v = \frac{1}{1{,}07} \approx 0{,}934579$, $1{,}03 v \approx 0{,}962616$, didapat:
$$PV_1 \approx 2000 \times 0{,}934579 \times \frac{0{,}259182}{0{,}037384} \approx \mathbf{USD\ 12.958}$$ 2. Bagian 2 (Tahun 9–16): Pembayaran ke-8 adalah $P_8 = 2000(1{,}03)^7 \approx 2.459{,}75$.
Mulai $t=9$ turun $3\%$, maka nilai di $t=8$ adalah:
$$PV_{t=8} = P_8 \times (0{,}97 v) \left[ \frac{1 - (0{,}97 v)^8}{1 - 0{,}97 v} \right] \approx 2.459{,}75 \times 4{,}9302 \approx 12.125{,}5$$ Didiskontokan kembali ke $t=0$ menggunakan $v^8 \approx 0{,}582009$:
$$PV_2 = 12.125{,}5 \times 0{,}582009 \approx \mathbf{USD\ 7.058}$$ 3. Total Pinjaman Awal:
$$L = PV_1 + PV_2 = 12.958 + 7.058 = \mathbf{USD\ 20.016}$$
Pinjaman USD 10.000 dilunasi dengan cicilan USD 1.000 per kuartal pada tingkat bunga nominal $16\%$ dikonversi kuartalan ($i_q = 4\%$). Tentukan:
(a) Waktu pelunasan pinjaman,
(b) Besar pembayaran drop payment terakhir,
(c) Porsi bunga pada pembayaran ke-10 ($I_{10}$).
(a) Waktu Pelunasan:
$$1000 \cdot a_{\overline{n}|0{,}04} = 10.000 \implies a_{\overline{n}|0{,}04} = 10 \implies 1 - (1{,}04)^{-n} = 0{,}4 \implies (1{,}04)^{-n} = 0{,}6$$ $$n = \frac{-\ln 0{,}6}{\ln 1{,}04} \approx 13{,}02 \implies \mathbf{14\ \text{kuartal}}\ \text{(13 cicilan penuh + 1 drop payment)}$$ (b) Besar Drop Payment:
Saldo setelah 13 cicilan penuh: $B_{13} = 10.000(1{,}04)^{13} - 1.000 \cdot s_{\overline{13}|0{,}04} = 16.650{,}70 - 16.626{,}75 = 23{,}95$.
Drop payment di akhir kuartal ke-14: $23{,}95 \times 1{,}04 = \mathbf{USD\ 24{,}91}$.
(c) Bunga pada Pembayaran ke-10:
Saldo setelah 9 pembayaran: $B_9 = 10.000(1{,}04)^9 - 1.000 \cdot s_{\overline{9}|0{,}04} = 14.233{,}10 - 10.582{,}75 = 3.650{,}35$.
$$I_{10} = 0{,}04 \times B_9 = 0{,}04 \times 3.650{,}35 = \mathbf{USD\ 146{,}01}$$
Pinjaman USD 13.500 selama 12 tahun dilunasi dengan metode sinking fund berbunga $4\%$. Total pembayaran tahunan peminjam adalah $P = 13.500 i + D$. Jika tingkat bunga pinjaman naik dua kali lipat menjadi $2i$, total pembayaran tahunan peminjam naik $20\%$ menjadi $1{,}2 P$. Tentukanlah besar pembayaran tahunan awal $P$!
1. Deposito tahunan sinking fund:
$$D = \frac{13.500}{s_{\overline{12}|0{,}04}} = \frac{13.500}{15{,}0258} \approx 898{,}47$$ 2. Total pembayaran awal: $P = 13.500 i + 898{,}47$.
3. Saat bunga $2i$: $P' = 13.500(2i) + 898{,}47 = 27.000 i + 898{,}47$.
Diketahui $P' = 1{,}2 P$:
$$27.000 i + 898{,}47 = 1{,}2(13.500 i + 898{,}47) = 16.200 i + 1.078{,}164$$ $$10.800 i = 179{,}694 \implies i \approx 0{,}016638$$ $$P = 13.500(0{,}016638) + 898{,}47 = 224{,}61 + 898{,}47 = \mathbf{USD\ 1.123{,}08}$$
Solusi Tuntas 15 Butir Tugas 1 Matematika Keuangan 1
Pembahasan analitis lengkap, penurunan matematis langkah demi langkah, tabel sintesis perbandingan, dan format penulisan siap salin untuk laporan tugas kelompok resmi mahasiswa S1 Departemen Matematika & Ilmu Aktuaria FMIPA UI.
Tabel Sintesis 15 Soal Tugas 1
| No | Topik CPMK | Sumber Dokumen | Kunci | Hasil Akhir Eksak |
|---|---|---|---|---|
| #1 | Fungsi Akumulasi & Bunga Efektif | Ujian PAI A10 April 2024 | C | 0,718\% |
| #2 | Bunga Bervariasi Bertahap | Ujian PAI CF1 Oktober 2024 | C | 12,11 juta |
| #3 | Bunga Sederhana | Ujian PAI A10 April 2024 | D | 5,825 juta |
| #4 | Identitas Suku Bunga & Diskonto | Ujian PAI CF1 Mei 2026 | C | 2 |
| #5 | Nilai Kini Diskonto Nominal | Ujian PAI CF1 November 2025 | C | USD 92,73 |
| #6 | Ekuivalensi Suku Bunga | Ujian PAI CF1 Mei 2025 | D | 0,129 |
| #7 | Ekuivalensi Tingkat Nominal | Ujian PAI A10 April 2024 | D | 20 |
| #8 | Akumulasi Dua Investor | Ujian PAI CF1 Mei 2026 | E | 9.578 |
| #9 | Bunga Tahun Tertentu | Ujian PAI CF1 Mei 2026 | B | 3.890.000 |
| #10 | Multi-Tahap ke Force of Interest | Ujian PAI CF1 Agustus 2025 | B | 0,0728 |
| #11 | Multi-Tahap ke Bunga Bulanan | Ujian PAI CF1 Mei 2025 | B | 5,71\% |
| #12 | Force of Interest Variabel Waktu | Ujian PAI CF1 Oktober 2024 | C | 5,13\% |
| #13 | Tingkat Diskon Bervariasi | Ujian PAI A10 Juli 2024 | D | 7,53\% |
| #14 | Rasio Inflasi vs Bunga Riil | Marcel Finan (Exam FM) | A | 1,000 |
| #15 | Nilai dalam Dolar Saat Ini (Today's Dollars) | Marcel Finan (Exam FM) | A | USD 13.253,94 |
$A(t)$ merupakan nilai akumulasi dari suatu investasi di tahun $t \ge 0$. Jika diketahui $A(t) = 100 + 5t$ dan $i_t$ merupakan tingkat bunga efektif pada tahun ke-$t$. Tentukanlah selisih dari $i_5$ dan $i_{10}$! (Pilihlah jawaban yang paling mendekati.)
1. Evaluasi nilai saldo tabungan:
• $A(4) = 100 + 5(4) = 120$
• $A(5) = 100 + 5(5) = 125$
• $A(9) = 100 + 5(9) = 145$
• $A(10) = 100 + 5(10) = 150$
2. Hitung bunga efektif masing-masing periode:
• $i_5 = \frac{A(5) - A(4)}{A(4)} = \frac{125 - 120}{120} = \frac{5}{120} = \frac{1}{24} \approx 4{,}167\%$
• $i_{10} = \frac{A(10) - A(9)}{A(9)} = \frac{150 - 145}{145} = \frac{5}{145} = \frac{1}{29} \approx 3{,}448\%$
3. Selisih bunga efektif:
$$i_5 - i_{10} = \frac{1}{24} - \frac{1}{29} = \frac{29 - 24}{24 \times 29} = \frac{5}{696} \approx 0{,}0071839 = \mathbf{0{,}718\%}$$ Jawaban: C.
$A(t)$ merupakan nilai akumulasi dana di tahun ke-$t$ dan $i_t$ merupakan tingkat bunga efektif di tahun ke-$t$. Jika $A(4) = 10\text{ juta}$ dan $i_t = 0{,}011t$, dengan $t$ bilangan bulat positif, tentukan $A(7)$! (Jawablah dalam puluh ribuan terdekat).
1. Evaluasi suku bunga efektif masing-masing tahun:
• $i_5 = 0{,}011 \times 5 = 0{,}055 \implies 1 + i_5 = 1{,}055$
• $i_6 = 0{,}011 \times 6 = 0{,}066 \implies 1 + i_6 = 1{,}066$
• $i_7 = 0{,}011 \times 7 = 0{,}077 \implies 1 + i_7 = 1{,}077$
2. Hitung nilai akumulasi di tahun ke-7:
$$A(7) = 10\text{ juta} \times (1{,}055) \times (1{,}066) \times (1{,}077)$$
$$A(7) = 10\text{ juta} \times 1{,}2112265 = \mathbf{12{,}112265\text{ juta} \approx 12{,}11\text{ juta}}$$ Jawaban: C.
Pada tingkat bunga sederhana tertentu untuk Investasi A dengan modal 10 juta, akan terakumulasi sebesar 11,1 juta setelah jangka waktu investasi tertentu. Dengan mengacu pada tingkat bunga sederhana dan jangka waktu Investasi A, hitunglah nilai akumulasi dari Investasi B dengan modal sebesar 5 juta pada tingkat bunga sederhana sebesar 3/4 dari Investasi A dan jangka waktu 2 kali lebih panjang dari Investasi A!
1. Analisis Investasi A:
$$11{,}1 = 10(1 + s_A t_A) \implies 1 + s_A t_A = 1{,}11 \implies s_A t_A = 0{,}11$$
2. Analisis Investasi B:
$$s_B = \frac{3}{4} s_A, \quad t_B = 2 t_A \implies s_B t_B = \left(\frac{3}{4} s_A\right)(2 t_A) = \frac{3}{2} (s_A t_A) = 1{,}5 \times 0{,}11 = 0{,}165$$
3. Akumulasi Investasi B:
$$A_B(t_B) = 5(1 + 0{,}165) = 5 \times 1{,}165 = \mathbf{5{,}825\text{ juta}}$$ Jawaban: D.
Diketahui $m$ bilangan bulat positif dan $i > 0$. Diberikan pernyataan:
i. $\delta = \ln(1 - d)$
ii. $e^\delta = \frac{i}{d}$
iii. $1 - d = v$
iv. $i^{(m)} = \frac{1}{m}\left[(1 + i)^{\frac{1}{m}} - 1\right]$
Berapakah jumlah pernyataan yang SALAH dari keempat pernyataan di atas?
• i: SALAH. Karena $1 - d = v = e^{-\delta}$, maka $\ln(1-d) = -\delta \implies \delta = -\ln(1-d)$.
• ii: BENAR. Karena $e^\delta = 1+i$, dan $d = \frac{i}{1+i} \iff 1+i = \frac{i}{d}$, sehingga $e^\delta = \frac{i}{d}$.
• iii: BENAR. Definisi baku faktor diskonto $v = 1 - d$.
• iv: SALAH. Suku nominal adalah $i^{(m)} = m[(1+i)^{1/m} - 1]$ (dikalikan dengan $m$, bukan dibagi $m$).
Jumlah pernyataan yang salah ada 2 pernyataan (yaitu i dan iv). Jawaban: C.
Misalkan jumlah dalam suatu dana 1,5 tahun dari sekarang adalah USD 100. Tentukan nilai kini dari dana tersebut jika tingkat diskonto nominal adalah 5\% yang dapat dikonversi setiap kuartal!
• Periode: $mt = 4 \times 1{,}5 = 6\text{ kuartal}$
• Diskonto per kuartal: $\frac{d^{(4)}}{4} = \frac{0{,}05}{4} = 0{,}0125$
Langkah 2: Evaluasi nilai sekarang:
$$PV = 100 \left(1 - \frac{0{,}05}{4}\right)^{4 \times 1{,}5} = 100 (1 - 0{,}0125)^6 = 100 (0{,}9875)^6 \approx 100 \times 0{,}927305 = \mathbf{\text{USD } 92,73}$$ Jawaban: C.
Diketahui $d^{(4)} = 0{,}064$. Tentukanlah nilai dari $\delta + i^{(6)}$!
Langkah 2: Hitung $\delta$:
$$\delta = -4 \ln(0{,}984) \approx -4(-0{,}0161298) = 0{,}064519$$
Langkah 3: Hitung $i^{(6)}$:
$$1 + \frac{i^{(6)}}{6} = (0{,}984)^{-4/6} = (0{,}984)^{-2/3} \approx 1{,}010811 \implies i^{(6)} = 6(0{,}010811) = 0{,}064866$$
Langkah 4: Jumlahkan:
$$\delta + i^{(6)} = 0{,}064519 + 0{,}064866 = 0{,}129385 \approx \mathbf{0{,}129}$$ Jawaban: D.
Anda diberikan persamaan: $$1 + \frac{i^{(n)}}{n} = \frac{1 + \frac{i^{(4)}}{4}}{1 + \frac{i^{(5)}}{5}}$$ Tentukan nilai dari $n$!
$$\frac{(1+i)^{1/4}}{(1+i)^{1/5}} = (1+i)^{1/4 - 1/5} = (1+i)^{1/20}$$
Maka $\frac{1}{n} = \frac{1}{20} \implies \mathbf{n = 20}$. Jawaban: D.
Radit investasi $A$ pada $i=4\%$, Ferry investasi $B$ pada $i=3{,}65\%$. Pada akhir tahun ke-25, total tabungan keduanya 14.000. Pada akhir tahun ke-40, tabungan Radit 1,8 kali lipat tabungan Ferry. Berapakah total gabungan uang Ferry dan Radit pada akhir tahun ke-15? (Pembulatan terdekat).
$$\frac{A}{B} = 1{,}8 \left(\frac{1{,}0365}{1{,}04}\right)^{40} \approx 1{,}5730 \implies A \approx 1{,}5730 B$$
Langkah 2: Pada $t=25$:
$$B[1{,}5730(1{,}04)^{25} + (1{,}0365)^{25}] = 14.000 \implies 6{,}6430 B = 14.000 \implies B \approx 2.107{,}49, \quad A \approx 3.315{,}07$$
Langkah 3: Pada $t=15$:
$$\text{Total}_{15} = A(1{,}04)^{15} + B(1{,}0365)^{15} = 3.315{,}07(1{,}80094) + 2.107{,}49(1{,}71295) \approx 5.970{,}2 + 3.610{,}0 = \mathbf{9.578}$$ Jawaban: E.
Dita menabung 10 juta dan Lolita 5 juta pada bunga efektif tahunan yang sama $i$. Bunga yang diterima Dita selama tahun ke-11 adalah $R$. Bunga yang diterima Lolita selama tahun ke-17 juga sebesar $R$. Hitunglah nilai $R$!
$$10.000.000 (1+i)^{10} i = 5.000.000 (1+i)^{16} i \implies (1+i)^6 = 2 \implies 1+i = 2^{1/6}$$
$$R = 10.000.000 \times 2^{5/3} \times (2^{1/6} - 1) = 10.000.000 \times 3{,}174802 \times 0{,}122462 \approx 3.887.928 \approx \mathbf{3.890.000}$$ Jawaban: B.
4 tahun pertama bertumbuh dengan $i^{(4)} = 6\%$. 6 tahun berikutnya bertumbuh dengan diskonto nominal $d^{(2)} = 8\%$. Tentukan tingkat bunga kontinu ekuivalen (force of interest, $\delta$) untuk periode 10 tahun tersebut!
$$a(10) = \left(1 + \frac{0{,}06}{4}\right)^{16} \times \left(1 - \frac{0{,}08}{2}\right)^{-12} = (1{,}015)^{16}(0{,}96)^{-12} \approx 1{,}268986 \times 1{,}632127 \approx 2{,}071104$$
$$e^{10\delta} = 2{,}071104 \implies \delta = \frac{\ln(2{,}071104)}{10} = \mathbf{0{,}0728}$$ Jawaban: B.
5 tahun pertama berakumulasi pada force of interest $\delta = 0{,}05$. 10 tahun berikutnya memperoleh bunga dengan diskonto nominal $d^{(4)} = 6\%$. Untuk periode 15 tahun, tentukan tingkat bunga nominal tahunan dikonversi bulanan $i^{(12)}$!
$$a(15) = e^{0{,}05 \times 5} \times (1 - 0{,}015)^{-40} = e^{0{,}25}(0{,}985)^{-40} \approx 2{,}350306$$
$$\left(1 + \frac{i^{(12)}}{12}\right)^{180} = 2{,}350306 \implies i^{(12)} = 12\left[(2{,}350306)^{1/180} - 1\right] = \mathbf{5{,}71\%}$$ Jawaban: B.
Yusuf mendepositokan masing-masing 100 juta di Dana X dan Dana Y. Dana X berakumulasi pada $\delta_t = 0{,}5(1+t)^{-2}$, Dana Y pada bunga efektif tahunan $i$. Di akhir tahun ke-9 nilai akumulasi keduanya sama. Tentukan nilai $i$!
$$\int_0^9 0{,}5(1+t)^{-2} dt = 0{,}5\left[-\frac{1}{1+t}\right]_0^9 = 0{,}5(1 - 0{,}1) = 0{,}45$$
$$(1+i)^9 = e^{0{,}45} \implies 1+i = e^{0{,}05} \implies i = e^{0{,}05} - 1 = \mathbf{5{,}13\%}$$ Jawaban: C.
Tentukan tingkat bunga efektif tahunan flat selama 3 tahun yang nilainya setara dengan tingkat diskon efektif 8\% di tahun pertama, 7\% di tahun kedua, dan 6\% di tahun ketiga!
$$1+i = (1{,}243373)^{1/3} \approx 1{,}07531 \implies i = \mathbf{7{,}53\%}$$ Jawaban: D.
Tingkat bunga efektif tahunan 10\%, tingkat inflasi 5\%. Suatu setoran tunggal diinvestasikan selama 20 tahun. Misalkan $A$ menyatakan nilai investasi pada akhir tahun ke-10 dengan memperhitungkan inflasi, dan $B$ menyatakan nilai investasi akhir tahun ke-10 dihitung dengan tingkat bunga riil. Tentukan rasio $A/B$!
Rasio $\frac{A}{B} = \mathbf{1{,}000}$. Jawaban: A.
Mindy menginvestasikan dana sebesar USD 10.000 selama 10 tahun dengan tingkat bunga efektif tahunan 8\%. Tingkat inflasi rata-rata adalah 5\% per tahun. Tentukan nilai investasi Mindy pada akhir tahun ke-10 yang dinyatakan dalam nilai dolar saat ini (*today's dollars*)!
Nilai dalam Today's Dollars: $\frac{21.589{,}25}{(1{,}05)^{10}} = \mathbf{\text{USD } 13.253{,}94}$. Jawaban: A.
Bank 250 Soal & Solusi Komprehensif
Koleksi soal terkurasi dari seluruh silabus Pekan 1 s.d. 15, arsip Kuis 1–4, UTS (30%), UAS (30%) Matematika Keuangan 1 FMIPA UI (2021–2025), Ujian Profesi PAI Modul A10 & CF1, serta buku rujukan baku Stephen Kellison dan Vaaler & Daniel. Dilengkapi kunci instan, petunjuk pengerjaan (hint), dan pelacak statistik akurasi secara live.
Mock Exam Kuis 1: Pengukuran Bunga, Diskonto & Gaya Bunga
Simulasi presisi tinggi berbasis tebakan pola soal Departemen Matematika FMIPA UI. Dilengkapi timer hitung mundur interaktif, visual warning sisa waktu < 10 menit, validasi otomatis skor live, serta rubrik penilaian bertingkat dosen UI.
Dossier Intelijen Prediksi Soal (Military-Grade Forecaster)
Analisis Probabilitas Soal Berdasarkan Karakter Dosen & Tren Ujian 2021–2025
Radar Pola Soal Dosen UI & Tips Taktis Kalkulator BA II Plus
Berdasarkan pembedahan arsip naskah Kuis 1, Kuis 2, UTS, dan UAS Matematika Keuangan 1 Departemen Matematika UI selama 10 tahun terakhir. Membongkar anatomi jebakan maut dosen penguji dan protokol komputasi kalkulator finansial berkecepatan tinggi.
📊 Matriks Distribusi Topik Ujian Kuis 1 & UTS (Arsip 2015 – 2025)
Data dikompilasi dari 35+ naskah ujian resmi Departemen Matematika UI
Konversi frekuensi, suku nominal bulanan/kuartalan, identitas sakti aktuaria $\frac{1}{d^{(m)}} - \frac{1}{i^{(m)}} = \frac{1}{m}$.
Pemajemukan kontinu, integral variabel waktu $a(t) = e^{\int \delta_t dt}$, penyetaraan waktu $T$.
Faktor $v$, mekanisme T-Bill, potongan di depan, hubungan $i-d=id$, batas $t < 1/d$.
Daya beli riil, deflator harga awal, nilai dalam *today's dollars*, rasio $A/B=1$.
Fungsi rasional $a(t) = \alpha / (2 - 3\beta t)$, 3 aksioma formal, kurva turunan kedua $a''(t)$.
Pembuktian penurunan monoton $i_n$, kaidah komersial Banker's Rule 360 hari.
☠️ Bedah 8 Jebakan Maut Paling Fatal di Ujian FMIPA UI
Daftar kesalahan yang menggugurkan lebih dari 65% mahasiswa setiap semester
Pemicu Error: Menggunakan $i^{(12)} = 12\%$ langsung sebagai bunga efektif tahunan.
Penangkal SOP: Tingkat nominal $i^{(m)}$ WAJIB dibagi $m$ terlebih dahulu untuk mendapatkan bunga sub-periode ($j = 1\%$), lalu dieksponensialkan: $1+i = (1 + 0{,}01)^{12} \implies i = 12{,}68\%$.
Pemicu Error: Mengira jika bunga sederhana $10\%$, maka $i_5 = i_{10} = 10\%$.
Penangkal SOP: Ingat rumus $i_n = \frac{s}{1 + (n-1)s}$. Nilai $i_n$ terus anjlok setiap tahun! $i_5 = \frac{0{,}10}{1{,}40} = 7{,}14\%$, sedangkan $i_{10} = \frac{0{,}10}{1{,}90} = 5{,}26\%$.
Pemicu Error: Menghitung $PV$ untuk horizon waktu $t \ge 1/d$ pada model diskonto sederhana.
Penangkal SOP: Diskonto sederhana hanya sah secara finansial jika $t < 1/d$. Jika $t \ge 1/d$, nilai $PV$ menjadi nol atau negatif, yang menjadi perangkap soal konseptual esai.
Pemicu Error: Menjumlahkan pembayaran di waktu berbeda tanpa menariknya ke titik waktu yang sama.
Penangkal SOP: Pilih SATU titik waktu valuasi (*focal date*, misal $t=0$ atau $t=5$). Seluruh arus kas harus dikalikan $(1+i)^{\Delta t}$ (jika maju) atau $v^{\Delta t}$ (jika mundur).
Pemicu Error: Memotong pajak $15\%$ dari total saldo akhir (pokok + bunga).
Penangkal SOP: Pajak HANYA dikenakan pada bunga kotor yang didapat ($A(1) - A(0)$), bukan pada pokok awal. Saldo bersih = Pokok + Bunga Kotor $\times (1 - 0{,}15)$.
Pemicu Error: Mengalikan langsung $\delta_t \times t$ ketika force of interest bergantung pada $t$.
Penangkal SOP: JANGAN PERNAH mengalikan langsung jika $\delta_t$ bukan konstanta! Wajib integralkan: $a(t) = \exp\left(\int_0^t \delta_s ds\right)$.
Pemicu Error: Mengabaikan suku silang $rj$ saat menghitung suku bunga nominal atau riil.
Penangkal SOP: Selalu gunakan formula eksak $1 + i = (1 + r)(1 + j)$. Opsi pilihan ganda di ujian aktuaria UI sengaja memasang jebakan aproksimasi sebagai distraktor!
Pemicu Error: Tertukar menulis $\frac{1}{i^{(m)}} - \frac{1}{d^{(m)}} = \frac{1}{m}$ (terbalik tanda).
Penangkal SOP: Ingat bahwa $d^{(m)} < i^{(m)}$, sehingga $\frac{1}{d^{(m)}} > \frac{1}{i^{(m)}}$. Rumus yang bernilai positif adalah $\mathbf{\frac{1}{d^{(m)}} - \frac{1}{i^{(m)}} = \frac{1}{m}}$.
🧮 Protokol Taktis Kalkulator Finansial Texas Instruments BA II Plus
Standar kalkulator resmi ujian PAI & Society of Actuaries (SOA)
Sebelum menghitung, wajib mengatur kalkulator ke standar aktuaria UI:
Tekan 2nd I/Y, ketik 1 ENTER, panah bawah, ketik 1 ENTER. Ini mencegah kalkulator membagi bunga otomatis.
Tekan 2nd FORMAT, ketik 6 ENTER. Memastikan akurasi desimal aktuaria.
Pastikan tidak ada tulisan "BGN" di layar. Jika ada, tekan 2nd BGN 2nd SET.
5 register nilai waktu dari uang (*Time Value of Money*):
Tips Penting: Selalu tekan 2nd CLR TVM sebelum memulai perhitungan baru agar register memori bersih!
Soal: Cari $PV$ dari 100 juta 5 tahun lagi pada bunga $8\%$ majemuk.
Tanda negatif menandakan arus kas keluar hari ini untuk menghasilkan saldo positif di masa depan.